专题43直线、平面垂直的判定及性质.ppt

（1）证明 ∵N是PB的中点，PA=AB， ∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.∵PA∩AB=A， ∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB. 又∵AD∩AN=A， ∴PB⊥平面ADMN. ∵ 平面ADMN，∴PB⊥DM. 6分 * 专题43 直线、平面垂直的判定及性质 要点梳理 1.直线与平面垂直 （1）判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线和此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直 于一个平面，那么另一条直线也 于这个平面. 相交 垂直 基础知识 自主学习 (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线. ②垂直于同一个平面的两条直线 . ③垂直于同一直线的两平面 . 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线 和平面所成的角. 3.二面角的有关概念 （1）二面角：从一条直线出发的 所 组成的图形叫做二面角. 任意 平行 平行 两个半平面 （2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点 为端点，在两个半平面内分别作 的两 条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平 面角. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线 垂直于另一个平面. 垂直于棱 一条垂线 交线 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面, M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA=45°. 求证：MN⊥平面PCD. 题型分类 深度剖析 证明 （1）连接AC，AN，BN， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC， 在Rt△PAC中，N为PC中点， ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线， ∴AN=BN， ∴△ABN为等腰三角形， 又M为底边AB的中点，∴MN⊥AB， 又∵AB∥CD，∴MN⊥CD. (2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD, ∴AP=AD. ∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∴PA=BC. 又∵M为AB的中点，∴AM=BM. 而PAM=∠CBM=90°, ∴PM=CM. 又N为PC的中点， ∴MN⊥PC. 由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C, ∴MN⊥平面PCD. 题型二 面面垂直的判定与性质 如图所示，在四棱锥P—ABCD 中， 平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8， AB=2DC=4 . (1)设M是PC上的一点， 证明：平面MBD⊥平面PAD； (2)求四棱锥P—ABCD的体积. (1)证明 在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4 , ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD， BD面ABCD， ∴BD⊥面PAD. 又BD面BDM，∴面MBD⊥面PAD. (2)解 过P作PO⊥AD， ∵ 面PAD⊥面ABCD， ∴ PO⊥面ABCD， 即PO为四棱锥P—ABCD的高. 又△PAD是边长为4的等边三角形， PO= 在底面四边形ABCD中，AB∥DC， AB=2DC，∴四边形ABCD为梯形. 在Rt△ADB中， 斜边AB边上的高为 此即为梯形的高. 题型三 线面角的求法 （12分）如图所示，在四棱锥P— ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC， ∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. （1）求证：PB⊥DM； （2）求BD与平面ADMN所成的角. （2）解 连接DN， ∵PB⊥平面ADMN， ∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，8分 在Rt△BDN中， 10分 ∴∠BDN=30°, 即BD与平面ADMN所成的角为30°. 12分 例4 如