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浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系 摘 要 在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。 关键词：数列极限；函数极限；区别；联系 1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 2 1.1 定义法在极限解题中的应用 2 1.1.1 定义法概述 2 1.1.2 定义法解题实例分析 3 1.2 迫敛性在极限解题中的应用 3 1.2.1 迫敛性概述 3 1.2.2 迫敛性解题实例分析 4 1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 4 1.3.1 积分中值定理概述 4 1.3.2 积分中值定理实例分析 5 1.4 本章小结 6 2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 7 2.1 存在条件不同 7 2.1.1 数列极限存在条件 7 2.1.2 函数极限存在条件 9 2.2 特殊形式的极限 9 2.2.1 数列极限的特殊解法研究 9 2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 12 3数列极限与函数极限的关系 13 3.1海涅定理 13 3.2海涅定理的应用 14 4 结论 15 1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。下面将重点分析进行数列极限与函数极限的解题过程中，定义法以及利用数列迫敛性在数列极限与函数极限中的运用。 1.1 定义法在极限解题中的应用 1.1.1 定义法概述 数列极限的：设为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正数N，使得当时，有，则称数列收敛于。记作：。否则称为发散数列。 函数极限定义：设是一个数列，是实数，如果对任意给定的，总存在一个正整数，当时，都有，我们就称是数列的极限。记为。 1.1.2 定义法解题实例分析 例. 求证数列极限其中。 证：当时，结论显然成立。 当时，记，则，由 得，任给，则当时，就有，即即 当 综上， 例. 按函数极限定义证明。 解: 令，则让即可， 存在，当时，不等式: 成立， 所以。 1.2 迫敛性在极限解题中的应用 1.2.1 迫敛性概述 数列极限迫敛性：设数列都以为极限，数列满足：存在正数N，当nN时，有，则数列收敛，且。 函数极限迫敛性：设，且在某内有，则 1.2.2 迫敛性解题实例分析 例.求数列极限 解：记，则 由迫敛性得=。 注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用。 例：求函数极限的极限 解： 且 由迫敛性知 注：做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。 1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 1.3.1 积分中值定理概述 数列极限中值定理如下： 定理一（费马定理）：设函数在点的某邻域内有定义并且在处可导，如果对任意的，有（或），那么。 定理二（罗尔定理）：如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,那么在至少存在一点,使得。 定理三（拉格朗日中值定理）：如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,那么至少存在一点，使得。 结论也可写成：。 定理四（柯西中值定理）：如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点，使等式成立。 函数极限中值定理：设函数在区间上连续，将区间分成个子区间在每个子区任取一点，作和式，当时，(属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间的定积分。 1.3.2 积分中值定理实例分析 例. 求， 解：设，在应用拉格朗日中值定理，得 ， 故当时，，可知 原式=。 例. 求 解: 设，则在内连续， 所以， 所以原式 1.4 本章小结 以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。 从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用