曲线曲面生成与逼近.doc

第八章 曲线﹑曲面生成与逼近 教学目的和要求: 要求掌握简单的数据处理方法﹑ 累加弦长法﹑ Bézier方法 ﹑ B-样条方法 ﹑非均匀有理B-样条（NURBS） 本章讲述曲线﹑曲面生成与逼近的一些常用方法.原则上讲，本书前面有关章节介绍的插值与逼近的理论与方法均有用于曲面﹑曲线的生成与逼近.这些内容本章自然不必重复. 以下介绍一些其他方法以及与之相关的理论.本章所涉及的领域被称之为计算机几何或计算机辅助几何设计. §1. 简单的数据处理方法 通常给定的用以生成与逼近曲线﹑曲面的表列数据，由于观测等各类因素的影响，蕴含一定的误差，所以人们常常需要对这些给定的数据进行适当的处理. 采用样条和最小二乘法技巧，可以较好的处理这些数据.本节将介绍比较简单﹑使用的处理数据方法. 设 是一组观测数据，它们是当自变量取为等距时由观测所得的数据.从上列数据的插分表的不规则性可知它们不能用多项式等来逼近，所以人们需设法对以上数据进行修改，使修正后的数据 符合我们的要求. Woothouse公式 该方法的基本思想是，为修正处的值，须取 分别由 和作5条2次多项式插值，并取这5条抛物线于x=0处值的算术平均值作为的修正值.即 （1.1） 其中表示所谓的“离中和”： （1.2） 且 Lidstone公式 从Woothouse公式，可总结出一个普遍原则. 记 需寻求一个恰当的磨光公式，使得 高阶差分， 其中是离中和则磨光值取为 关键是选取函数. 根据差分算子和位移算子等的定义， 其中E为位移算子，D为微分（求导）算子.取则得 ， 。 所以 。 即可得 由此可推出 移项得Lidstone公式 (1.3) 若取则得到Spencer公式 。 (1.4) 其21项公式为 (1.5) 3. 最小二乘法 取以为中心位置的数据 并按最小二乘法求j次多项式，则取 . 经常采用的是下述特例. 取j=1，则 (1.6) 取j=2,3 (1.7) 其中 4．二维数据的处理 借助于二维Taylor 展开公式，我们可以处理二维矩形网格点上的数据. 设已给定一组二维数据 则有如下的13 点磨光公式： 其中 若是一个边界点，例如在数据(1.8)中，我们只知 则有如下的9点边界磨光公式： 其中 ， 为验证公式(1.9)和(1.10)，只需将公式右端所涉及的诸在点作Taylor展开即可.有关细节请读者自行给出。 §2. 累加弦长法 如前所述，3次样条插值是一类比较简单而有效的曲线生成和逼近的方法。由于3此样条的力学背景是无限常量在集中荷载作用下的弯曲变形曲线.其中一个条件是小挠度，即不大。然而实际问题中经常会遇到大挠度曲线的逼近问题.为解决此类问题，人们想出来许多种办法，其中一类最有效的方法是将曲线参数化.例如分段研究3次参数曲线 (2.1) 首先遇到的问题时，以什么作为(2.1)中的参数？一个最容易想到的参数是曲线的长度s，遗憾的是，曲线(2.1)的弧长s不能