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二次函数的零点 1 二次函数的零点 一、整体结构 例1:(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)己知a、b、c是实数,二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f()=0.求证:-1与1中至少有一个是f(x)=0的根. 练习: 1.(2004年全国初中数学联赛试题)己知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实根.则ab的取值范围为( ) (A)ab≥ (B)ab≤ (C)ab≥ (D)ab≤ 2.(2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题)己知a0,b≤0,c0,且=b-2ac.求b2-4ac的最小值. 3.(第七届祖冲之杯数学邀请赛试题)实数a、b、c满足(a+c)(a+b+c)0.证明:(b-c)24a(a+b+c). 4.(第二届北方数学奥林匹克邀请赛试题)设函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R).若存在实数m,使得|f(m)|≤,且|f(m+1)|≤,求△=a2-4b的最大值和最小值. 二、根的存在 例2:(中等数学.2005年第3期.数学奥林匹克高中中训练题(74))设a、b、c、m满足条件:++=0,且a≥0,m0.求证:方程ax2+bx+c=0有一根x0∈(0,1). 练习: 1.(2005年全国初中数学联赛试题)己知a、b、c为实数,ac0,且a+b+c=0.证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根. 2.(罗增儒.认识深化后,结论推广时.中等数学.2005年第11期)实系数一元二次方程ax2+bx+c=0中,ac0.如果正实数α、β、γ满足αβγ,β2αγ,且aα+bβ+cγ=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0有大于且小于1的根. 三、根的存在 例3:(2007年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)己知关于x的方程:8x-m4x+(m2-3)2x=0. (I)若方程无实根,求m的取值范围; (Ⅱ)若方程有唯一实根,求m的取值范围. 练习: 1.(2007年广东高考试题)己知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围. 2.(2006年全国II高考试题)己知a∈R,二次函数f(x)=ax2-2x-2a.设不等式f(x)0的解集为A,又己知集合B={x|1x3}.若A∩B≠,求a的取值范围. 四、根的范围 2 二次函数的零点 例4:(1993年全国高考试题)己知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两实根α、β,证明: (I)如果|α|2,|β|2,那么2|a|4+b,且|b|4; (Ⅱ)如果2|a|4+b,且|b|4,那么|α|2,|β|2. 练习: 1.己知a≥,函数f(x)=-a2x2+ax+c. (I)证明:对任意x∈[0,1],f(x)≤1的充要条件是c≤; (II)己知关于x的实系数二次方程f(x)=0有两个实数根α,β,证明:|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是c≤a2-a. 2.(中等数学.2006年第2期.数学奥林匹克高中中训练题(85))设a、b、c、d∈R.在复数集内,关于x的方程x2+ax+b=0和x2+cx+d=0的根的模均小于1.求证:方程x2+(a+c)x+(b+d)=0的根的模小于1. 五、不动点 例5:(1997年全国高考试题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)-x=0的两根满足0x1x2. (I)证明:当x∈(0,x1)时,xf(x)x1; (Ⅱ)设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称,证明:x0. 练习: 1.(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)设f(x)=x2+bx+c(b、c为常数),方程f(x)=x的两个实数根为x1、x2,且满足x10,x2-x11. (I)求证:b22(b+2c); (Ⅱ)若0tx1,比较f(t)与x1的大小. 2.(2007年湖北高考试题)设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0x1x21. (I)求实数a的取值范围; (II)试比较f(0)f(1)-f(0)与的大小,并说明理由. 3.(中等数学.2005年第2期.数学奥林匹克高中中训练题(73))对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称点 (x0,y0)为函数