Ⅱ证明不等式问题的方法.doc

证明不等式问题的方法 1 证明不等式问题的方法 在全国高中数学联赛中,证明不等式的重要方法有:恒等变形法、变量代换法、函数分析法、磨光变换法、局部构造法和模型构造法.本讲重点关注这些方法的使用和用场. Ⅰ:恒等变形法 等式与不等式是相互联系的,如等式a2+b2=2ab+(a-b)2与均值不等式a2+b2≥2ab;等式(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ay- bx)2与柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2;等式a2+b2+c2=ab+bc+ca+[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]与不等式a2+b2+c2≥ab +bc+ca等.我们发现:这些重要不等式均是由相应的等式的一边去掉非负项得到,在这几个例子中,等式与不等式达到高度统一. 等式与不等式的统一性,为解决不等式问题提供了有力的方法. 1.分解变换法 因式分解是恒等变形的重要手段,在处理不等式问题中有重要作用:或分解因式,利于均值、柯西不等式应用;或分解因式,利用各因式的符号解决问题;或分解因式,构造所需不等式. [例1]:(2009年第六届东南地区数学奥林匹克竞赛试题)设x、y、z∈R+,=x(y-z)2,=y(z-x)2,=z(x-y)2.求证:a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). [解析]:由a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=a2-2a(b+c)+(b-c)2=a2-2a[(+)2+(-)2]+(+)2(-)2=[a- (+)2][a-(-)2]=(++)(--)(+-)(-+)≥0知只须证(- -)(+-)(-+)≥0,即(-++)(+-)(-+)≤0;而-++= -x(y-z)2+y(z-x)2+z(x-y)2(因为当x=y时,-x(y-z)2+y(z-x)2+z(x-y)2=-x(x-z)2+x(z-x)2=0其中必有因式x-y)=- (xy2-2xyz+xz2)+(yz2-2xyz+yx2)+z(x-y)2=(x-y)xy-(x-y)z2+z(x-y)2=(x-y)(xy-z2-zx+yz)=-(y+z)(z-x)(x-y),同理可得:-+=-(z+x)(x-y)(y-z),+-=-(x+y)(y-z)(z-x),三式相乘得:(-++)(+- )(-+)=-(x+y)(y+z)(z+x)[(x-y)(y-z)(z-x)]2≤0. [练习1]: 1.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)己知a、b、c、d为正实数,且a+b+c+d=4.求证:a2bc+b2da+c2da+d2bc≤4. 2.(1998年印度数学奥林匹克试题)设a、b、c∈R+,且、、组成三角形的三边,f(x)=x2-(a+b+c)x+ab+bc+ca.证明:f(x)=0没有实根. 3.(2005年克罗地亚数学奥林匹克试题)己知正实数a、b、c满足:++=1.求证:(a-1)(b-1)(c-1)≥8. 4.(第24届加拿大数学奥林匹克试题)设x、y、z≥0.求证:x(x-z)2+y(y-z)2≥(x-z)(y-z)(x+y-z). 5.(2006年波兰数学奥林匹克试题)设正实数a、b、c满足ab+bc+ca=abc.证明:++≥1. 6.(2005年英国数学奥林匹克试题)设a、b、c为正实数.证明:(++)2≥(a+b+c)(++). 2.恒等变形法 恒等变形法是解决不等式问题的重要方法,恒等变形的手段有:①利用对称式的性质:两个对称式的和、差、积、商仍是对称式;②充分利用条件进行升幂、降幂;③分式中分子简化的思想. [例2]:(2005年第5届中国西部数学奥林匹克试题)设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明:10(a3+b3+c3)-9(a5+b5+c5)≥1. [解析]:由1=(a+b+c)3=(a3+b3+c3)+3(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc)=(a3+b3+c3)+3(a+b)(b+c)(c+a)a3+b3+c3=1- 3(a+b)(b+c)(c+a);a5+b5+c5=(a+b+c)5-5(a+b)(b+c)(c+a)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)=1-5(a+b)(b+c)(c+a)(a2+b2+c2+ab+bc+ca);故不等式等价于:10[1-3(a+b)(b+c)(c+a)]-9[1-5(a+b)(b+c)(c+a)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)]≥145(a+b)(b+c)(c +a)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)≥30(a+b)(b+c)(c+a)3(a2+b2+c2+ab+bc+ca