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数列的基本问题 1 数列的基本问题 数学奥林匹克中的数列问题可分为两大类:基本问题和综合问题.其中数列的基本问题包括:通项问题(包括求通项、求和、通项不等式和求和不等式)、数列性质(单调有界和数列极限)、递推问题(建立递推、二阶变换、转化二阶、递推变换、递推分析、不等递推和不等分析)和重要数列(凸凹数列、周期数列和Fibonacci数列). 1.数列通项: [例1]:(2004年第四届中国西部数学奥林匹克试题)设数列{an}满足a1=a2=1,且an+2=+an,n=1,2,….求a2004. [解析]:由an+2=+anan+1an+2=1+anan+1数列{anan+1}是以a1a2=1为首项,公差为1的等差数列anan+1=nan+1an+2= n+1==;①a2k=a2?=1?;②a2k-1=a1 …=1…. [练习1]: 1.(《中等数学》.2013年第3期.数学奥林匹克训练题(163))已知数列{an}满足a1=1,a2=9,且对任意的正整数n有:nan+2- 6(n+1)an+1+9(n+2)an=0.试求数列{an}的通项公式. 2.(《中等数学》.2008年第11期.数学奥林匹克训练题(113))设a1=1,an+1=2an+n2(1+3n)(n=1,2,…).求数列{an}的通项公式. 3.(《中等数学》.2006年第6期.数学奥林匹克训练题(5))设x1=3,xn+1=(++1)xn+n+1(n=1,2,…).求数列{xn}的通项公式. 4.(1987年中国国家队测试题)已知数列{an}中,an∈R,且a1=1,a2=10,an2an-2=10an-13(n=3,4,…).求an. 5.(2009年第五届北方数学奥林匹克数学邀请赛试题)设数列{xn}满足x1=1,xn=+xn-1(n≥2).求数列{xn}的通项公式. 6.①(2004年巴尔干数学奥林匹克试题)对于所有非负整数m和n(m≥n),数列a0,a1,a2,…满足am+n+am-n-m+n-1=(a2m+ a2n).若a1=3,求a2004. ②(2004年澳大利亚数学奥林匹克试题)非负整数数列{xn}定义为:x1是小于204的非负整数,且xn+1=(+)xn2- +1,n0.证明:数列{xn}一定包含无数个质数. 2.数列求和: [例2]:(2012年全国高中数学联赛黑龙江预赛试题)已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f()(n∈N+). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令Tn=,求Tn. [解析]:(Ⅰ)由an+1=f()an+1=an+an=n+; (Ⅱ)令bn=(-1)(2n-1)+1a2n-1a2n+(-1)2n+1a2na2n+1=[(2n-1)+][(2n)+]-[(2n)+][(2n+1)+]=-(4n+1)Tn= ==-(2n2+3n). 2 数列的基本问题 [练习2]: 1.(2009年全国高中数学联赛陕西预赛试题)已知数列{an}满足a1=4,an+1an+6an+1-4an-8=0.记bn=(n∈N+).求: (Ⅰ)数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)数列{anbn}的前n项和Sn. 2.(《中等数学》.2005年第9期.数学奥林匹克训练题(80))设数列{an}满足a1=a2=1,且an+1an-1=an2+nanan-1(n=2,3,…). (Ⅰ)求an; (Ⅱ)求. 3.(《中等数学》.2007年第8期.数学奥林匹克训练题(100))已知数列{an}满足a1=,(1-an)an+1=. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:++…+n+. 4.(《中等数学》.2010年第12期.数学奥林匹克训练题(136))已知数列{an}满足a1=,=(n≥2).试求 的值. 5.(2003年第2届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题)定义数列{an}如下:a1=2,an+1=an2-an+1,n=1,2,….证明: 1-++…+1. 6.(2005年中国国家队测试题)数列{an}定义如下:a1=,且an+1=(n=1,2,…).证明:对每一个正整数n,都有a1+a2+…+an1. 3.通项不等式: [例3]:(2009年全国高中数学联赛陕西预赛试题)已知函数f(x)=,数列{an}、{bn}满足:a10,b10,an=f(an-1), bn=f(bn-1)(n=2,3,…). (Ⅰ)求a1的取值范