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构造三角形证三元不等式 1 构造三角形证三元不等式 1.基本命题:对任意正实数x,y,z,令a=y+z,b=z+x,c=x+y,则以a,b,c为边长可构成一个△ABC.其中,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c. 证明:因a+b-c=2z0,b+c-a=2x0,c+a-b=2y0,故以a,b,c为边长可构成一个△ABC. 基本命题的实质是:△ABC的内切圆的切点分三边所得线段的长分别为x,y,z. 2.基本结论:在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c.若a=y+z,b=z+x,c=x+y,则: ⑴cosA= ⑵sinA= ⑶tanA= ⑷sin= ⑸cos= ⑹tan= ⑺△ABC的面积S△ABC= ,内切圆半径r= ,外接圆半径R= . 3.基本不等式: 对任意正实数x,y,z: ⑴sinA+sinB+sinC≤ ⑵cosA+cosB+cosC≤ ⑶tanA+tanB+tanC≥3 ⑷sin+sin+sin≤ ⑸cos+cos+cos≤ ⑹tan+tan+tan≥ ⑺a2+b2+c2≥4S ⑻R≥2r 4.条件不等式: ⑴对任意满足x+y+z=1的正实数x,y,z: ①sinA+sinB+sinC≤ ②tanA+tanB+tanC≥3 ③cos+cos+cos≤ ④tan+tan+tan≥ ⑤a2+b2+c2≥4S ⑵对任意满足x2+y2+z2=1的正实数x,y,z: ①sinA+sinB+sinC≤ ② ③ ④ ⑤ ⑶对任意满足xyz=1的正实数x,y,z: ① ② ③ ④ ⑷对任意满足x+y+z=xyz的正实数x,y,z: ① ② ③ ⑸对任意满足xy+yz+zx=xyz的正实数x,y,z: ① ② ③ ⑹对任意满足(x+y)(y+z)(z+x)=1的正实数x,y,z: ① ② ③ 5.应用例举: [例1]:(《中等数学》2011年3期.数学奥林匹克高中训练题(139))设a,b,c是正实数,证明:+ +≤. [解析]: [例2]:(《中等数学》2010年1期.数学奥林匹克高中训练题(125))己知a、b、c是△ABC的三边长,且满足:+ +≥.试判定△ABC的形状. [解析]: 1.(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设给定的锐角三角形△ABC的三变长为a,b,c,正实数x,y,z满足 ++=p,其中P为给定的正实数,试求:s=(b+c-a)x2+(c+a-b)y2+(a+b-c)z2的最大值,并求出当S取此最大值时,x,y,z的取值. 2.(2010年全国高中数学联赛试题,本题满分50分)设x,y,z是非负实数,求证:()3≤(x2-xy+y2)(y2- yz+z2)(z2-zx+x2)≤()3. 构造三角形证三元不等式 1 构造三角形证三元不等式 1.基本命题:对任意正实数x,y,z,令a=y+z,b=z+x,c=x+y,则以a,b,c为边长可构成一个△ABC.其中,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c. 证明:因a+b-c=2z0,b+c-a=2x0,c+a-b=2y0,故以a,b,c为边长可构成一个△ABC. 基本命题的实质是:△ABC的内切圆的切点分三边所得线段的长分别为x,y,z. 2.基本结论:在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c.若a=y+z,b=z+x,c=x+y,则: ⑴cosA=1-2,cosB=1-2,cosC=1-2; ⑵sinA=2,sinB=2,sinC=2; ⑶tanA=2,tanB=2,tanC=2; ⑷sin=,sin=,sin=; ⑸cos=,cos=,cos=; ⑹tan=,tan=,tan=; ⑺△ABC的面积S△ABC=,内切圆半径r=,外接圆半径R=. 3.基本不等式: 对任意正实数x,y,z:⑴sinA+sinB+sinC≤++≤; ⑵cosA+cosB+cosC≤++≥; ⑶tanA+tanB+tanC≥3++≥; ⑷sin+sin+sin≤++≤; ⑸cos+cos+cos≤++≤; ⑹tan+tan+tan≥++≥; ⑺a2+b2+c2≥4S(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2≥4; ⑻R≥2r≥2(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz. 4.条件不等式: ⑴对任意满足x+y+z=1的正实数x,y,z:①sinA