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Y.P.M数学竞赛讲座 1
竞赛中的三角问题
高中联赛中的三角问题具有知识的载体性、综合性和方法的功能性,本文分类研究竞赛中的三角问题.
1.角的范围
[例1]:(2000年全国高中数学联赛试题)设sin(0,cos(0,且sincos,则的取值范围是( )(A)(2k(+,2k(+),k(Z (B)(+,+),k(Z
(C)(2k(+,2k(+(),k(Z (D)(2k(+,2k(+)∪(2k(+,2k(+(),k(Z
[解析]:
[类题]:
1.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)若α是第二象限的角,则π-是( )(A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第一、三象限角 (D)第二、四象限角
2.(2006年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知θ是第三象限的角,且sincos,则的取值范围是 .
3.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)设0≤x≤2π,则满足不等式sin(x-)cosx的x的取值范围是________.
4.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)不等式组sinxcosxtanxcotx在(0,2π)中的解集(用区间表示)是 .
5.(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若sin3θ-cos3θ≥cosθ-sinθ,0≤θ≤2π,则角θ的取值范围是 .
6.(2011年全国高中数学联赛试题)如果cos5θ-sin5θ7(sin3θ-cos3θ),θ∈[0,2π),那么θ的取值范围是 .
7.(2010年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若e|sinθ|-ln|cosθ|e|cosθ|-ln|sinθ|,且θ∈(0,2π),则角θ的取值范围是 .
2.恒等变换
[例2]:(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)=-,则f(x)可化简为( )
(A)cos2x (B)sin2x (C)cosx-sinx (D)cos-sin
[解析]:
[类题]:
1.(1981全国高中数学联赛试题)条件甲:=a.条件乙:sin+cos=a.
(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件
2.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知条件p:=和条件q:|sinα+cosα|=.则p是q的( )
(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知θ∈[,],则-可化简为( )
(A)2sinθ (B)-2sinθ (C)-2cosθ (D)2cosθ
2 Y.P.M数学竞赛讲座
3.(1981全国高中数学联赛试题)设α≠(k=0,1,2,…),T=.
(A)T取负值 (B)T取非负值 (C)T取正值 (D)T取值可正可负
4.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)化简三角有理式的值为( )
(A)1 (B)sinx+cosx (C)sinxcosx (D)1+sinxcosx
5.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)实数x,y满足tanx=x,tany=y,且|x|≠|y|,则-的值等于 .
6.(2008年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知0x,sinx-cosx=.若tanx+可以表示成的形式(a,b,c是正整数).则a+b+c=( )
(A)8 (B)32 (C)48 (D)50
7.(2008年全国高中数学联赛江西
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