③切点弦方程.doc

切点弦方程 1 切点弦方程 由轨迹方程的定义不难接受、理解、掌握:基本定理:点P(x0,y0)在曲线G:f(x,y)=0上f(x0,y0)=0.这实质上是轨迹方程定义的另一种表达形式,为突现其重要性,我们把它称为“基本定理”.它是建立本节理论的基础. 1.[切点弦方程]:从点P(x0,y0)引曲线G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:ax0x+b+cy0y+d+e+f=0. 证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),则曲线G:ax2++bxy+cy2+dx+ey+f=0在点M(x1,y1)处的切线方程为:ax1x+b+cy1y +d+e+f=0,由该切线过点P(x0,y0)ax1x0+b+cy1y0+d+e+f=0点M(x1,y1)在直线ax0x+b+cy0y+d+e+f=0上;同理可得:点N(x2,y2)也在直线ax0x+b+cy0y+d+e+ f=0上直线MN的方程为:ax0x+b+cy0y+d+e+f=0. 注:直线MN的方程:ax0x+b+cy0y+d+e+f=0称为切点弦方程. 推论:1.从点P(x0,y0)引椭圆G:=1的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:=1; 2.从点P(x0,y0)引双曲线G:=1的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:=1; 3.从点P(x0,y0)引抛物线G:x2=4py的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:x0x=2p(y+y0);从点P(x0,y0)引抛物线G:y2=2px的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:y0y=2(x+x0). 2.[切点弦方程的应用]: [例1]:(2009年浙江高考试题)如图,己知抛物线C:x2=2py(p0)上一点A(m,4) y N 到其焦点的距离为. (Ⅰ)求p与m的值; Q (Ⅱ)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0),过P的直线交C于另一点Q, O M x 交x轴于点M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线,求t的最小值. [分析]: [例2]:(2010年重庆高考试题)已知以原点O为中心,F(,0)为右焦点的双曲线C的离心率e=. (I)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程; y G (Ⅱ)如图,已知过点M(x1,y1)的直线l1:x1x+4y1y=4与 N 过点N(x2,y2)(其中x1≠x2)的直线l2:x2x+4y2y=4的交 O H x 点E在双曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交与G、 M E H两点,求△OGH的面积. [分析]: 2 切点弦方程及性质 [例3]:己知椭圆C:=1(ab0)和双曲线G:=1,过双曲线G上异于顶点的任一点P作椭圆C的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,直线AB与双曲线G的两条渐近线分别交于M、N两点,则: (I)=a2-b2(定值); (Ⅱ)S△OMN=ab(定值); (Ⅲ)直线MN与双曲线G相切于点Q(xP,-yP),且点Q是MN的中点. [分析]: [例4]:(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)椭圆C:=1(ab0),⊙O:x2+y2=b2.自椭圆上异于其顶点的任意一点P,作⊙O的两条切线,切点分别为若M、N.直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,证明:+=. [分析]: 解答本题的关键是求切点弦MN的方程,除使用本文中的方法,或结论外,还可以用以OP为直径的圆的方程与⊙O 的方程相减得到.设P(x0,y0),则MN:x0x+y0y=b2m=,n=x0=,y0=,由+=1+=. [例5]:⑴已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x+2y=2r,在l上有一点M,过M作圆C的两条切线MA、MB.求切点弦AB的中点N的轨迹方程. ⑵(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)