④构造对偶式证明不等式.doc

构造对偶式.证明不等式 1 构造对偶式.证明不等式 W.janour曾猜想:若x、y、z∈R+,则:++≥0.后来人们证明了这个猜想,并有如下绝妙的证明:设M=++,并令N=++M-N=(-)+(-) +(-)=(y-x)+(z-y)+(x-z)=0M=N;又因M+N=(+)+(+)+(+) =++≥02M≥0M≥0. 这个证法的惊叹之处在于构造与M对应的N,我们把形如M与N的式子称为对偶式.关于对偶式我们在三角中已有了解,如: (1991年全国高中数学联赛试题)cos2100+cos2500-sin400sin800= . 利用对偶式解答如下:设M=cos2100+cos2500-sin400sin800,N=sin2100+sin2500-cos400cos800M-N=cos200+cos1000+ cos1200=2cos600cos400+cos1200=cos400-;M+N=2-cos400(M-N)+(M+N)=M=. 经研究发现:构造对偶式.可妙证一类不等式.其中的关键是构造对偶式. 1.分式对偶 [例1]:(2003年全国高中数学联赛北京初赛试题)如果a、b、c都是正数,求证:++ ≥. [解析]: [练习]: 1.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若a1+a2+…+an=1,ai∈R+,证明:++ …+≥. 2.(1991年亚太地区数学奥林匹克试题)设a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn都是正实数,且=.证明:≥. 3.(第24届全苏数学奥林匹克试题)已知a1,a2,…,an都是正实数,且=1,求证:++…+≥. 2.对偶比较 [例2]:(第31届国际数学奥林匹克(IMO)预选题)已知x≥y≥z0,求证:≥x2+y2+z2. [解析]: [练习]: 1.(第26届独联体数学奥林匹克试题)证明对任意实数a1,b1,有不等式:+≥8. 2.(2008年全国高中数学陕西初赛联赛试题)设x0,y0,n∈N+.求证:+≤. 3.逆序构造 [例3]:(1988年全国高中数学联赛试题)已知a,b为正实数,且=1,试证:对一个n∈N+,有:(a+b)n-an-bn≥ 22n-2n+1. [解析] [练习]: 1.已知k∈N+,求证:()kk！ 2.(中等数学.2010年第8期.数学奥林匹克问题(278))设n为正整数.求证:+…+≤2n. 3.(2009年全国高中数学陕西初赛联赛试题)(Ⅰ)证明对任意的x0,y0,有≥-(x-y); (Ⅱ)证明:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn≥. 4.不等构造 [例4]:(中等数学.2010年第1期.数学奥林匹克问题(265))已知对一切正整数n,≥k都成立.试求k的最大值 [解析]: [练习]: 1.已知n∈N+,求证:×××…×. 2.(1985年广东高考试题)设n≥2,n∈N*,证明:(1+)(1+)…(1+). 5.整式对偶 [例5]:(第28届国际数学奥林匹克(IMO)预选题)若a,b,c,d都是正数,且a2+b2+c2+d2=1.求证:(a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+ (b+c)4+(b+d)4+(c+d)4≤6. [解析]: [练习]: 构造对偶式.证明不等式 1 构造对偶式.证明不等式 W.janour曾猜想:若x、y、z∈R+,则:++≥0.后来人们证明了这个猜想,并有如下绝妙的证明:设M=++,并令N=++M-N=(-)+(-) +(-)=(y-x)+(z-y)+(x-z)=0M=N;又因M+N=(+)+(+)+(+) =++≥02M≥0M≥0. 这个证法的惊叹之处在于构造与M对应的N,我们把形如M与N的式子称为对偶式.关于对偶式我们在三角中已有了解,如: (1991年全国高中数学联赛试题)cos2100+cos2500-sin400sin800= . 利用对偶式解答如下:设M=cos2100+cos2500-sin400sin800,N=sin2100+sin2500-cos400cos800M-N=cos200+cos1000+ cos1200=2cos600cos400+cos1200=cos400-;M+N=2-cos400(M-N)+(M+N)=M=. 经研究发现:构造对偶式.可妙证一类不等式.其中的关键是构造对偶式. 1.分式对偶 [例1]