⑧竞赛中的立体几何问题.doc

Y.P.M数学竞赛讲座 1 竞赛中的立体几何问题 高中联赛中的立体几何问题主要以客观题的形式出现,并重点考察度量及球的问题. Ⅰ.体的认识 1.正方体 [例1]:(2008年全国高中数学联赛试题)若三个棱长均为整数单位cm)的正方体的表面积之和为cm2,则这三个正方体的体积之和为764cm3或586cm3 (B)764cm3 (C)586cm3或564cm3 (D)586cm3 [解析]: [类题]: 1.①(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)如图4个结论: A B ①AA1⊥EF;②A1C1∥EF;③EF∥平面A1B1C1D1;④EF与A1C1异面. E F 正确的是( ) D1 C1 (A)②④ (B)①④ (C)②③ (D)①③ A1 B1 ②(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)在正方体中给出下列四个命题①点P在直线上运动时三棱锥的体积不变②点P在直线上运动时直线AP与平面所成角大小不变;③点P在直线上运动时二面角的大小不变④点M是平面上到点D和距离相等的点则点M的轨迹是过点的直线.其中正确的编号是A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①③④ 2.(1997年第8届“希望杯”全国数学邀请赛试题)平行光线照射到一个棱长为1的正方体上,在正方体后面的平面上留下的影子的面积为S,则S的最大值为 . 3.(2011年全国高中数学联赛广东初赛试题)设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体,则该正方体的棱长最大等于 . 4.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知ABCD-A1B1C1D1是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁的爬行路线是AA1→A1D1→…,黑蚂蚁的爬行路线是AB→BB1→…,它们都依照如下规则:所爬行的第n+2段与第n段所在直线必须是异面直线,设黑白两个蚂蚁都走完2008段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白两个蚂蚁的距离是 . 5.(1992年全国高中数学联赛试题)从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则k的最大值是_____. 6.(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体,则上底面ABCD的内切圆上的点P与 过顶点A,B,C1,D1的圆上的点Q之间的最小距离是 . 2.长方体 [例2]:(2001年全国高中数学联赛试题)命题1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;命题2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点;命题3:长方体中,必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 [解析]: [类题]: 1.(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)有一个长方体的箱子,它的十二条棱长之和是140,并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21,那么这个箱子的总表面积是 . 2.①(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)在长方体ABCD-EFGH中,∠BEF=600,∠DEH=450,则sin∠BED的值为 . ②(1997年第8届“希望杯”全国数学邀请赛试题)长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1与面AB1成250角,BD1与面A1C1成450角,则BD1与这个长方体各棱所成角中最大的角等于 . 2 Y.P.M数学竞赛讲座 3.①(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB1=4,AD1=3,则对角线