⑨对称轴上极点与极线的性质定理及其应用.doc

对称轴上极点与极线的性质定理及其应用 1 对称轴上极点与极线的性质定理及其应用 对称轴上的极点与极线有许多特殊性质,这些特殊性质是高考与竞赛命题的出发点. 定理1(定值性质):(I)己知点P是左、右顶点分别为A、B的椭圆G:=1(ab0)上任意一点(不同于点A、B),点Q在椭圆G的对称上,点Q关于椭圆G的极线为l,直线PA、PB分别与直线l相交于M、N两点,则为定值; (Ⅱ)己知点P是左、右顶点分别为A、B的双曲线G:=1(a0,b0)上任意一点(不同于点A、B),点Q在双曲线G的对称上,点Q关于双曲线G的极线为l,直线PA、PB分别与直线l相交于M、N两点,则为定值; (Ⅲ)己知点P是抛物线G:y2=2px(p0)上任意一点(不同于点O),点Q在抛物线G的对称上,点Q关于抛物线G的极线为l,过点P且平行于x轴的直线与直线OP分别与直线l相交于M、N两点,则为定值; 证明:(I)Q(m,0),则极线l:x=,设P(x0,y0)(y0≠0)AP:y=(x+a),令x=得M(,),同理可得N(,)=(,),=(,)=()2+=;同理可证点Q在另一对称轴上的情况. 推论1(圆过定点):已知有心二次曲线G长轴(焦点所在的轴)的两端点分别为A、B,过长轴上一点F的直线与曲线G相交于P、Q两点,直线PA、QB分别与F对应的极线l交于M、N两点.则以MN为直径的圆必经过两个定点. 证明:以椭圆=1为例,以MN为直径的圆:(x-)2+(y-)(y-)=0,令y=0:(x-)2+ =0(x-)2-=0x=以MN为直径的圆必经过两个定点. 该推论的变式为: 推论2(圆过定点):已知有心二次曲线G长轴(焦点所在的轴)的两端点分别为A、B,P是曲线G上不同于A、B的一个动点,直线PA、PB分别与垂直于长轴的直线l(直线l与曲线G无交点)交于M、N两点.则以MN为直径的圆必经过两个定点. 证明:以椭圆=1为例,A(-a,0),B(a,0),设P(acosα,bsinα),直线l:x=t,直线PA:y=(x+a),直线PB:y=(x-a)M(t,(t+a)),N(t,(t-a))以MN为直径的圆:(x-t)2+(y-(t+a)) (y-(t-a))=0,令y=0:(x-t)2+(t2-a2)=0(x-t)2-(t2-a2)=0x=t经过两个定点(t-,0),(t+,0).特别地,当t=时,定点(c,0),(,0). (Ⅱ)(Ⅲ)略. 定理2(等差性质):己知异于原点的点Q关于曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0(a2+b2≠0)的极线为l,过定点Q的直线与曲线G相交于A、B两点,P是直线l上的任意一点,则直线PA、PQ、PB的斜率成等差数列. 己知异于原点的点Q关于曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0(a2+b2≠0)的极线为l,过l上任意一点P作曲线G的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,则直线PA、PQ、PB的斜率成等差数列. 当kPQ=0时,kPA+kPB=0,此即为共轭点的等角性质. [例4]:(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知椭圆:=1(ab0),其中长轴为A1A,P是椭圆上不同于点A1、A的一个动点,直线PA、PA1分别与同一条准线交于M、M1两点.试证明:以线段MM1为直径的圆必经过椭圆外的一个定点. [分析]: [例5]:(2009年江西高考试题)已知点P1(x0,y0)为双曲线=1(b为正常数)上任一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于点P2. (I)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程; (Ⅱ)设轨迹E与x轴交于B,D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0)Q,直线QB,QD分别交于y轴于M,N两点.求证:以MN为直径的圆过两定点. [分析]: [例6]:(2009年福建高考试题)己知直线x-2y+2=0经过椭圆C:=1(ab0)的左顶点A和上顶点D.椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS、BS与直线l:x=分别交于M、N两点. (I)求椭圆C的方程; y M (II)求线段MN的长度的最小值; D S (II)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否 A O B x 存