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共轭点的轨迹 1 共轭点的轨迹 共轭是高等几何中最重要的概念之一,它是联系高等几何中各主要概念的一条主线,二次曲线的许多重要结论都与此密切相关. 定义:若直线PQ与圆锥曲线G相交于A、B两点,且+=0,则称点P与Q是圆锥曲线G的一对共轭点. [条件定理]:两点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0(a2+c2≠0)共轭的充要条件是:ax1x2+cy1y2+ d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0. 在文[1](P179)中给出的是高等几何的证明,这里我们给出自然的、初等的证明. 证明:设直线PQ与圆锥曲线G相交于A、B两点,则P与Q关于圆锥曲线G共轭+=0+=0 λA+λB=0,其中,λA=,λB=-;设割线PAB的参数方程为:(λ为参数),代入圆锥曲线G的方程得: (ax22+cy22+2dx2+2ey2+f)λ2+2(ax1x2+cy1y2+dx1+dx2+ey1+ey2+f)λ+ax12+cy12+2dx1+2ey1+f=0,所以,λA+λB=0ax1x2+cy1y2+dx1 +dx2+ey1+ey2+f=0ax1x2+cy1y2+d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0. 推论1(轨迹1):若直线PQ与圆锥曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0(a2+c2≠0)相交于A、B两点,且+=0,则:点Q(x0,y0)为定点点P在定直线l:ax1x+cy1y+d(x+x1)+e(y+y1)+f=0上. 证明:+=0点P(x1,y1),Q(x0,y0)关于曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0共轭ax0x1+cy0y1+d(x0+x1)+e(y0 +y1)+f=0.点Q(x0,y0)为定点,由ax0x1+cy0y1+d(x0+x1)+e(y0+y1)+f=0点P在定直线ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上. 推论2(轨迹2):若曲线G:ax2+cy2=1(ac≠0),直线l:ax0x+by0y=1.过原点O引射线分别与曲线G、直线l交于A、Q,点P在射线OA上.则:|OQ||OP|=|OA|2的充要条件是点P的轨迹方程是ax2+cy2=ax0x+by0y. 证明:设点P(x,y),A(x1,y1),Q(x2,y2),点P在射线OQ上(t≠0),点Q(x2,y2)在直线l:ax0x+by0y=1上ax0x2 +cy0y2=1t(ax0x+cy0y)=1.设直线OA与曲线G相交于另一点B,则由曲线G关于原点对称得:|OB|=|OA|.所以,|OQ||OP|= |OA|2+=0axx2+cyy2=1t(ax2+cy2)=1ax2+cy2=ax0x+cy0y. 推论3(轨迹3):若曲线G:mx2+ny2=1(mn≠0),曲线C:ax2+cy2=1(ac≠0).过原点O引射线分别与椭圆G、曲线C交于点A、Q,点P在线段AQ上.则:|OQ||OA|=|OP|2的充要条件是点P的轨迹方程是(mx2+ny2)(ax2+cy2)=1. 证明:设点P(x,y),A(x1,y1),Q(x2,y2),由|OQ||OA|=|OP|2=,设==λ|OP|=λ|OA|,|OQ|=λ|OP|,又因O,Q,A,P四点共线,且点P在线段AQ上,所以,=λ,=λ,.点A(x1,y1)在曲线G上mx12+ny12=1mx2+ny2=λ2,点Q(x2,y2)在曲线C上ax22+cy22=1λ2(ax2+cy2)=1(mx2+ny2)(ax2+cy2)=1. 1.轨迹1的应用 [例1]:(2011年山东高考试题)(文)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+y2=1.如图所示,斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3,m). (Ⅰ)求m2+k2的最小值; D y (Ⅱ)若|OG|2=|OD||OE|. G A (i)求证:直线l过定点; E (ii)试问点B,G能否关于x轴对称？若能,求出