数学专业—毕业论文——径向函数的积分公式及其应用.doc

径向函数的积分公式及其应用 陈建亮 （东海科学技术学院 数理与信息系，浙江 舟山 316004） [摘要]：径向函数是一种非常特殊的函数，具有本质上的一维性，通过径向映射将任意高维问题转化为一维问题，从而高维问题处理中的繁琐、冗长的计算得到避免．基于球坐标变换和球面面积公式（用Gamma函数表示），本论文推出径向函数的积分公式，利用该公式得到了一些多重积分问题的简单计算方法． [关键字]：径向函数；球坐标变换；积分公式 The Radial Function Integral Formula and Its Application Chen Jianliang (Donghai Science Technology School, Department of Mathematics， Physics and Information, Zhoushan Zhejiang 316004) [Abstract]: Radial function is a very special function, with the one-dimensional nature. By radial mapping,the high-dimensional problem are transformed to one-dimensional problem such that the cumbersome and lengthy calculations in high-dimensional problem are avoided. Based on the spherical coordinate transformation and the formula for area of sphere (using that Gamma function), this paper introduced the radial function integral formula. By using this formula, some of the high-dimensional integral problem are simplified. [Keyword]: Radial function; Spherical Coordinate Transformation; Integral formula; 前言 重积分的具体计算十分繁琐，数学分析中，直至大型的工程计算中都会涉及到大量的重积分的具体计算，因此简化积分是十分必要的．重积分的具体计算除了跟函数的具体表现形式有密切关系之外还与积分区域的形状存在紧密关系，基于此，产生了各种积分变量变换方法，例如：极坐标变换，球坐标变换，柱坐标变换等． 本文在测度和积分的意义下研究径向函数的积分，基于球坐标变换和球面面积公式（用函数表示），本论文推出径向函数的积分公式．利用该公式得到了一些多重积分问题的简单计算方法．由于可积的函数必定可积，因此在积分意义下研究积分是有意义的．所以数学分析中的许多重积分问题可以利用公式加以简化，具体见例子：计算 其中为圆域： 外测度和外测度构成了积分的测度，由于外测度和内测度具有次可加性和距离可加性，因此是可测集．对于定义在可测集上的函数，若对于任意的实数，点集是可测集，则是上的可测函数，因此在上可积．在径向函数中利用积分变换，进行球坐标变换并求出球面面积公式，从而得出径向函数的积分公式的积分公式． 由于可积，由可积则可积，所以可积，因此根据径向函数积分公式得出． 2.Lebesgue测度与积分 2.1 Lebesgue测度 定义2.1.1[1]设是中一点集，,,… ,,…是中一列开长方体，且，则确定一个非负的数 (或)，所有这样的数组成的数集显然是下方有界的，因此有下确界，则称此下确界为的外测度，记作 外测度有下列四个基本性质： （1）非负性：；，则有； （2）单调性：如果,则； （3）次可加性 （4）若A、B之间的距离.则 定义2.1.2[1] 设是中一点集，是包含的长方体：,,… ,,…是中一列开长方体，且，则称此上确界为的内测度，记作 由内测度的定义可知： （1）因为得上确界是对所有包含的开长方体{}取得的，且显然的值越小，的值越大．所以有 (2)内测度也具有和外测度基本相应的一些简单性质． 定义2.1.3[1] 设是的有界集，若，则称为有界可测集此时并称的外测度值（或内测度集值）为的测度，记作 定义2.1.4 设是无界点集，若对任何长方体，都是有界可测集，则称为无界可测集． 有界和无界两种可测集统称为可测集． 2.2 Lebesgue积分 定义2.2