高中数学教学课件——反函数.ppt

求反函数的方法步骤: ①判定原函数的值域; ②用y表示x,得x= (y)（即反解） ③交换x,y得y=f-1(x)(即对调） ④∴原函数的反函数是: 或写 反函数后要写出定义域 * * 反函数 1.反函数的概念 设v=2 千米/小时,t表示时间,s表示位移. 时间 t (小时) 位移 s(千米) 1 2 3 4 … 位移 s (千米) 时间 t (小时) 2 4 6 8 … 2 4 6 8 … 1 2 3 4 … 根据条件填图,并写出对应的关系式. 假如 观察两式 ×2 ÷2 匀速运动 1.反函数的概念 观察这两个关系式发现： ① ② 在①中 t 是自变量，s 是自变量 t 的函数． 在②中 s 是自变量，t 是自变量 s 的函数． 除此之外,我们还可发现②的表达式可由①的表达式变换而得,即从①式中求出t即可. 1.反函数的概念 反函数 一般地，函数 y = ?(x) (x∈A) 中，设它的值域为 C．我们根据这个函数中 x ， y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = φ(y)．如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x = φ(y) ，在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x = φ(y) 就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数．这样的函数 x = φ(y) (y∈C) 叫做函数 y = ?(x) (x∈A) 的反函数，记作 X = ? -1(y) (y∈C) ． 在函数 x = ? -1(y) 中， y 是自变量， x 表示函数．但在习惯上，我们一般用 x 表示自变量，用 y 表示函数，为此我们对调函数 x= ? -1(y) 中的字母 x ， y ，把它改写成 y= ? -1(x) (x∈C) (在书中，今后凡不特别说明，函数的反函数都采用这种经过改写的形式) ． ? -1(x) 是表示反函数的符号, ? –1表示对应关系,? -1(x) 为一个整体符号. (课本第61页) 反函数 返回概念 　 ⑴ 从反函数的概念可知, 　　 ⑴ 从反函数的概念可知,如果函数y = ?(x)有反函数y= ? -1(x) ,那么函数y= ? -1(x) 的反函数就是y = ?(x),这就是说,函数y = ?(x) 与y= ? -1(x)互为反函数. 1.反函数的概念 概念表明 比如,函数 与函数 互为反函数. A C y ? x ? -1 1.反函数的概念 概念表明 　　 ⑵ 从映射的概念可知,函数y = ?(x)是定义域集合A到值域集合C的映射,而它的反函数y= ? -1(x) 是集合C到集合A的映射. x 表明:函数y = ?(x)的定义域和值域与反函数y= ? -1(x)的定义域和值域的关系如何? 注意： 2. 函数y = ?(x)的定义域,正好是它的反函数y= ? -1(x) 的值域;函数y = ?(x)的值域,正好是它的反函数y= ? -1(x) 的定义域(如下表). A C 值域 C A 定义域 反函数 y = ? -1(x) 函数 y = ?(x) 1.并不是所有函数都有反函数的,判断一个函数存在反函数的条件是:对定义域内任意 这样的函数就存在反函数 知识应用与解题研究 [例1] 求下列函数的反函数: (1) (x∈R) (2) (x∈R) (3) (x≥0) (4) (x∈R,x≠1) 想一下如何解? 请看解答 1.反函数的概念 知识应用与解题研究 [例1] 求下列函数的反函数: (1) (x∈R) ; 解: 由 (x∈R), 故, 所求的反函数为 (x∈R). . (4)的解 现在,请同学们看书上对(1)、(2)、(3)、(4)的解答. 首先,将y=f(x)看作方程,解出x=f -1(y) (y∈C); 其次，将x,y互换,得到y=f -1(x) (x∈C) . 最后,指出反函数的定义域 得 知识应用与解题研究 [例1] 求下列函数的反函数: (4) (x∈R,x≠1) 解: 由 (x∈R,x≠1) 得 故, 原函数的反函数为