求下列数列的极限.doc

总练习 1、求下列数列的极限: (1) (2) (3) 解 (1)当时,.所以 ,由迫敛性定理知 (2)设,由第三节习题7结论知 (3) 证明下列各题的极限; (1) ; (2) ; (3) ; 证 (1)当q=0时,, .当时,令,则. 设,由 得 故由迫敛性定理知 (2)任给,而,故存在N,当nN时,,取对数后得().故 从而当时,由 ()及迫敛性定理知. (3)对任给令,由§1习题1(3)知. 故对,存在自然数,使得当时, ,即. 所以当时有,故. 3、设,证明: (1) ,又问:它的逆命题是否成立? (2)若 ,则. 证: (1)因为,故对任意的必存在,当时,, 于是当时 ,其中. 因,于是对已知的存在,当时, . 取,则当时,有, 所以. 其逆不真.例如不收敛,但. (2)因为对任意的自然数,,所以. 当时, .又, 因此由结论(1)知 , 所以 当时,对任意的,存在,使得当时,,于是当时 由于,从而存在,使得当时,有, 故当时,必有 因此 应用上题结果证明下列各题: (1); (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) (7)若,则 (8) 若,则有 证 (1)有3(1)知. (2)令,则,且 由3(2)知. (3)由于,且,由3(2)知 (4)令, ,则, 因此由3(2)知 (5)令() 则, 而, 由3(2)知. (6)由3(1)及4(3)知. (7)因为,且, 由3(2)知. (8) 且 由3(1)知 证明:若为递增数列, 为递减数列, ,则、存在且相等. 证 由于,从而有界,不妨设,其中A.B为常数,再由递增,递减知,从而.都是单调有界数列,它们的极限存在,而 所以 若数列存在常数M,对一切的n有 证明:(1) 为收敛数列; (2) 为收敛数列. 证 (1) 因为,且所以为递增且有上界的数列,故必收敛. (2) 由于收敛,由柯西准则,对任给的,存在N,当mnN时, ,故当mnN时 可见满足柯西收敛准则条件,所以收敛. 7.,一般地,证明数列极限存在且等于. 证 对任何,令,则有 故有下界,有因为 ,可见递减,所以 极限存在, .由, 再由知,两边令取极限,解之得 (舍去), ,故. 8.设,且 , 证明数列,的极限存在且都等于. 证 (1) 易见 设,则,从而 所以,对一切的自然数n,有. (2)由于 , 所以递减, 递增. (3)结合(1),(2)知: 递减且有下界,递增且有上界,从而,极限存在. 设,,在中令得知,有由 知,所以. 9.正面陈述:发散数列的充要条件,并用它证明下列数列是发散的: (1) ; (2) ; (3) 解 数列发散的充要条件是:存在,对任意的自然数N,都存在, 使 取,对任意的自然数N,取,则 所以发散. 取,对任意的自然数N,取,则 所以发散. 取,对任意的自然数N,取,则 所以发散. 10.设,记 证明(1) ; (2) 证 若,则令 k=1,2,…. 则,而,都是的一个子列, 由定理2.8知. 若,不妨设.由保号性定理知,存在自然数N,当nN时,,于是