代数不等式的解法例题.doc

代数不等式的解法·例题 ? 例5-3-1? 解不等式16x+x4-x5＜16。 解? 原不等式可同解变形为 x5-x4-16x+16＞0。 左边分解因式，得同解不等式 (x-1)(x2+4)(x-2)(x+2)＞0 用数轴标根法，得不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞2}。 注? 解实系数一元高次不等式，可先把最高次项的系数化为正数，并使右边为0，再通过因式分解，将左边变形，最后用数轴标根法求解集。 例5-3-2? (1)已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为(-∞，α)∪(β，+∞)。求ax2+bx+c＞的解集，并说明b的取值范围a，c的关系； (2)若a＜0，解不等式(a-1)x2+b(2-a)x-b2＞0。 解? (1)由题设知，a＜0。所以， (x-α)(x-β)＜0 由此可知，当α≠β时，不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}；当α=β时，不等式无解。 又由题设a＜0，且b2-4ac≥0，即b2≥4ac。因此，当c≥0时，有4ac≤0，这时b可取任意实数；当c＜0时，则4ac＞0，这时 (2)由于a＜0，从而a-1＜0，故所给不等式同解于 若b=0，此不等式即为x2＜0。这时无解； 解集为 注? 解一元二次不等式时，应充分利用二次函数的图象，通过形数结合，提高解题的速度。 解? [法一]? 移项、化简，原不等式同解于 (x+1)x(x-1)(x-3)＜0 由下图可知，原不等式的解集是 {x|-1＜x＜0或1＜x＜3} [法二]? 原不等式同解于不等式组 故(Ⅰ)的解集为{x|1＜x＜3}；(Ⅱ)的解集为x|-1＜x＜0。从而所求解集为 {x|1＜x＜3}∪{x|-1＜x＜0}={x|1＜x＜3或-1＜x＜0} 注? 将不等式同解变形为不等式组时，要注意区分解集的“交”、“并”关系。 例5-3-4? 解下列不等式： 解? (1)原不等式同解于不等式组 解不等式组(Ⅰ)，得0＜x＜1，(Ⅱ)无解。故原不等式的解集是 {x|0＜x＜1} (2)令t=x2-x，则原不等式化为 此不等式的允许值集确定于不等式组 另一方面，不等式(i)可化为 注? 解含根式的不等式，关键在于去掉根号，使之化为有理不等式。去掉二次根号的常用方法是平方法，有时也采用变量代换的方法或配成完全平方的方法。无论采用哪种方法，都要注意转化的同解性。 例5-3-5? 解下列不等式： 解? (1)原不等式可化为 (2)原不等式的允许值集为{x|x≥3}。原不等式可化为 两边立方，得 化简并整理后即为 解前一不等式组得x＞4；后一不等式组无解。故原不等式的解集为{x|x＞4}。 例5-3-6? 解关于x的不等式： 当a＜0时，由(i)得t＞1-a＞0，即 当a=0时，(i)无解； 于是， 当a≥1时，(i)无解。 综上所述，当a＜0时，原不等式的解集为 当a=0或a≥1时，原不等式无解。 注? 本例既涉及变量代换，又涉及参数的讨论，综合性较强，但并不需要高超的技巧，按常规方法即可解决。关键是变量代换，难点是严 间，要认真领会。