第三章第五次课.doc

第三章第五次课 教学内容：函数单调性的判定法，曲线的凹凸与拐点。 教学目的： 正确理解函数在指定区间上单调性的判定法。 会用函数的单调性证明不等式。 掌握用定义及二阶导数判定函数图形的凹凸求出拐点。 会求曲线的水平与垂直渐进线。 重点：函数单调性的判定，曲线凹凸的判定及拐点的求法与判定 难点：函数单调性的判定，曲线凹凸的判定及拐点的求法与判定 关键：函数单调性的判定，曲线凹凸的判定及拐点的求法与判定 教学过程： 一、函数单调性的判定法 问题的引入 在这一节，我们利用导数来对函数的单调性进行研究 首先，我们来看，若一个函数是单调的，则它的导数具有什么特点 图Ⅰ　　　　　　　　　　　　　　　　　　图Ⅱ Ⅰ当为增函数时，其导数值是非负的。 Ⅱ当为减函数时，其导数值是非正的。 那么，现在我们要讨论的问题是：能否用导数的符号来判定函数的单调性。 Th：设函数在上连续，在内可导。 如果内＞0，那么函数在上单调增加； 如果内＜0，那么函数在上单调减少。 注：1、将判定法中的闭区间换成其他各种区间，包括无穷区间，结论仍然成立。 2、定理的证明，应用到Lagrange中值定理。 Proof：∵在上连续，在内可导 在区间上任取两点，（＜），由lagrange中值定理 又 ∴当＞0时，有 即有 这表明是单调增加。 同理可证单调减少的情况。 判定函数在上的单调性。 解：在内 由定理可知函数在上是单调增加的。 讨论函数的单调性。 解：函数的定义域为 当时， 当时，导数不存在 时，，在上，函数单调增加 时，，在上，函数单调减少 注：1、在一个函数的单调区间的分界点处的导数有些为零，有些不存在。 2、对于在整个定义域上不单调的函数，我们可以取导数为零和导数不存在的点为分界点来划分函数的单调区间。 讨论函数的单调性。 解：函数的定义域为 当， 当，，即在和上函数都是单调增加的 即在整个定义域上函数是单增的 注：如果函数在某个区间内的有限个点处导数值为零，而在其余各点均为正（或负），那么在该区间上函数是单调增加（或减少）的。 确定函数的单调区间 解：函数的定义域为 由解得 在上，，所以在上单调增加 在上，，所以在上单调减少 在上，，所以在上单调增加 用函数的单调性来证明不等式也是一个很重要的方法。 证明不等式： 证明：令 在上连续，内可导，且 由函数单调性的判别法， ∴当时， 即 二、函数曲线的凹凸性与拐点 曲线凹凸性的定义 在上一部分我们讨论了曲线的单调性，即曲线是上升的还是下降的。但是，在上升或是下降的过程中，还有一弯曲方向的问题。看下面两个图形 图1 图2 上图所表示的两个函数，在区间，它们都是单调增加的，但图形却有显著的不同，其中图1中，在区间曲线是向上凸起的； 图2中，在区间曲线是向下凹的；即它们的凹凸性是不同的。 图1 图2 如图1中的弧（曲线）， 如图2中的弧（曲线）， ：设在区间上连续，如果对上任意两点，恒有 ，那么称在上的图形是（向上）凹的（凹弧）；如果恒有，那么称在上的图形是（向上）凸的（凸弧）。 曲线凹凸性的判定 由上图来分析，函数连续且二阶可导，观察的变化。 当曲线是凸的，可以发现是单调减少的，将看作是一个函数，由函数单调性与其一阶导数的关系，得到；类似可以讨论凹的情况。 这样我们得到曲线的凹凸性与其二阶导数的符号之间的关系。 Th：设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么 若在内，则在上的图形是凹的； 若在内，则在上的图形是凸的。 Proof：证明两次用到Lagrange中值定理 判断曲线的凹凸性。 解：函数的定义域为 由曲线凹凸性的判定定理可知，在其定义域是凸的。 判断曲线的凹凸性 解： 当时，，所以在内，曲线是凸的； 当时，，所以在内，曲线是凹的。 拐点及其求法 在上例中，点是曲线由凸变凹的一个分界点，我们成为拐点。 1）：（拐点）曲线的凹，凸的分界点称为拐点。 2）判定：的符号是用来判定曲线凹凸性的一个方法，若，且的两侧的符号异号，则点就是的一个拐点。 3）求法：①求 ②令，解出其在内的实根 ③对于每一个，检查在左、右两侧邻近的符号，如果在的左、右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点是拐点，当两侧的符号相同时，点不是拐点。 求曲线的拐点及凹、凸的区间 解：函数的定义域为 解这个方