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平面镶嵌知识简介湖北省沙洋县长林中学 刘黎明 (能够完全重合的图形叫做全等形)无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌(覆盖、铺砌)平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°．最简单的镶嵌是只用一类全等形镶嵌平面．以下对平面镶嵌问题从三个方面略作介绍． ? 　　一、用一种任意多边形镶嵌 ? 　　1．全等的任意三角形能镶嵌平面 ? 把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形．用这些全等的三角形可镶嵌平面．这是因为三角形的内角和是180°，用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面．如图1． ? ? ? 　　用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图2． ? 　　2．全等的任意四边形能镶嵌平面 ? 　　仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面．这是因为四边形的内角和是360°，用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面．如图3．其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌．如图4． ? 　　　　　　　　????????? ? 　　3．全等的特殊五边形可镶嵌平面 ? 　　圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论．1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面，可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面，在图5的五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，2∠A＋∠D=2∠C＋∠D=360°，a=e，a＋e=d．图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法．用五边形镶嵌平面，是否只有13类，还有待研究． ? 　　　　　　　　?? ????? ? 　　4．全等的特殊六边形可镶嵌平面 ? 　　1918年，莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面．图7是其中之一．在图7的六边形ABCDEF中，∠A＋∠B＋∠C=360°，a=d． ? 　　5．七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面． ? 　　二、用同一种正多边形镶嵌 ? 　　只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面． ? 　　三、用多种正多边形镶嵌 ? 　　例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌．设在一个顶点周围有m个正三角形的角，有n个正六边形的角．由于正三角形的每个角是60°，正六边形的每个角是120°．所以有 ? 　　??? m·60°＋n·120°=360°，即m＋2n=6． ? 　　这个方程的正整数解是或 ? 　　可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形．如图8、图9． ? 　　?　　　　?? ???? ? ? 　　参考文献： ? 　　《初等数学研究的问题与课题》? 杨之（即杨世明先生）? 湖南教育出版社? 1993年5月版