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的单位群结构 唐高华 苏华东 （广西师范学院数学与计算机科学系， 南宁 530001） (E-mail: tanggh@, huadongsu@) (电话13307819878) 摘要：1801年，高斯给出了模剩余类环的单位群的结构定理．本文给出了模高斯整数环的单位群的结构定理． 关键词：,模n Tang gaohua　 Su huadong (The department of the mathematics and computer science， Guangxi teachers` College，Nanning 530001) (E-mail: tanggh@. huadongsu@) Abstract: In 1801，Gauss proved that the structure theorem of the unit group of the residue class ring ． In this paper，we will prove the structure theorem of the unit group of the Gaussian integers residue class ring ． Key words: Guassian integers modulo n，unit group， cycle group §1 引言 设表示整数集，是大于1的整数．模剩余类环，高斯整数环以及模高斯整数环． 我们知道每一个有限生成的交换群均可唯一地分解为有限个循环群的直和，特别地每一个有限交换群均能分解为有限个有限循环群的直和．1801年高斯就得到了模剩余类环的单位群的结构[1]，即：，，，，和，是奇素数．本文给出了模高斯整数环的单位群的结构定理． 设是一个含单位元1的群，，的阶是指使得的最小正整数，记作．如果存在，使得，则称为循环群．我们用表示在个元中任意取出个元的组合数． §2 一些引理 引理2．1[2，引理6.2.4]　设，分别是多项式，展开式中的系数，则 (1) 如果，则，且，． 如果，则，且，． 引理2.2　设是多项式展开式中的系数，其中． 如果，则，且，．特别地，，． 证明：类似引理2.1的证明，我们设，这样就有，，，．因为，所以有，而，，所以，．特别地，因为 ，所以，． □ 由引理2.1和2.2，一般地我们有 引理2.3　设是奇数，是偶数．是多项式展开式中的系数，如果，则，且，．特别地，若，，则，，． □ 引理2.4[3，P143，定理3] 设与互素，则．这里是指欧拉函数． 引理2.5 设的奇偶性相反，则当时，同余方程 的解数为；当时，同余方程 的解数为． 证明：当奇偶时，设，则化为 ， 由引理2.3，考察的奇次幂项，有，所以，即，此时的选取有种可能．由于，由引理2.3，有，由[3，P263，定理1]知其解数为．故当奇偶时，同余方程 的解数为．同样地当偶奇时同余方程 的解数也为，所以同余方程 的解数为． 类似的讨论可以得到：当时，同余方程 的解数为． □ 引理2.6 [4，定理3.2] ，其中是的标准分解式，且有． §3 主要结果及证明 定理3.1 设，是正整数，则 (1) ， (2) ； (3) 当时，． 证明：(1) 因为，所以． (2) 因为，其中为2阶元， 为4阶元，，所以． (3) 当时，由[4，定理3.1]知，．当时，类似(1)、(2)直接验证可知命题成立．下设． ① 证明中的2阶元恰有7个，因而恰能分解为三个循环子群的直和． ，令，则有同余方程组 (﹡) 由于，由[4，定理3.1]知的奇偶性相反． 如果 ，由(2)得，由[3，P163，定理2]知此同余方程的解数为2，即 和 ，代入(1)都有 ． 由[3，P266，定理4] 知此同余方程无解． 如果 ，由(2)得 ， 由[3，P163，定理2]知此同余方程的解数为2，即 或 ，代入(1)有 ． 由[3，P266，定理4] 知此同余方程的解数为4，事实上此同余方程的解是． 所以同余方程组(﹡)的解数为8，因此中的2阶元恰有7个，因而恰能分解为三个循环子群的直和． ② 证明中任何一个元素的阶都是的因子． ，要证，即要证 由引理2.3，知当奇偶时，等价于 ， 由引理2.4知此时 成立．当偶奇时， 等价于 即，由引理2.3，知其等价于 ，这又由引理2.4，知 必成立．因此中任何一个元素的阶都是的因子