导数题型汇总解题思路[精华].doc

一、导数的几何意义 【例1】函数在处得切线方程为，则 ， 。 【答案】。 【例2】（1）函数在点处的切线方程是 。 （2）过点的函数的切线方程是 。 （3）过点的函数的切线方程是 。 【点评】求函数的切线问题，一定要关注所给的点是不是切点，关注字眼“在”和“过”。“在”曲线上一点，该点必是切点，“过”曲线外一点，该点必不是切点，“过”曲线上一点，该点未必是切点。 【答案】（1） （2）因为不在函数上，设函数的切点为，由得切线斜率。 所以切线方程为，又切线过，代入得，所以，，，切线方程为。 （3）和。 二、利用导数的正负性研究函数的单调性 （一）不含参数型 【例3】求下列函数的单调区间。 （1） （2） （3） （4） （5） 解：（1），令得或，令得或。 所以函数在上递增，在上递减，在上递减，在上递增。 （2）。【略去解不等式过程】 函数在上递增，在上递减，在上递增。 （3）【略去解不等式过程】。 函数在上递减，在上递增。 （4）， 令，得，令，得。 所以在上递减，在递增。 （5），令得，令得。 所以在上递减，在上递增。 【点评】求单调区间时，题目当中若无参数讨论，一定要把导数求对，并且把定义域标注在后面。尤其碰到这个函数的时候。要会解简单的指对不等式。 （二）含有字母讨论型：主要有以下四种题型 【例4】求下列函数的单调区间 （1） （2） （3） （4） 解：（1） ①当时，，当时， 当时，。 ②当时，令得或； 令得。 ③当时，令得； 令得或。 综上知，当时，函数在上递增，在上递减； 当时，函数在上递增，在上递减，在上递增； 当时，函数在上递减，在上递增，在上递减。 【点评】导数中，若项有系数时，要先讨论的情况。还要注意与的开口方向问题。 （2）。有两根。 ①当时，恒成立。 ②当时，令得或；令得。 ③当时，令得或；令得。 综上知，当时，函数在上递增； 当时，函数在上递增，在上递减，在上递增； 当时，函数在上递增，在上递减，在上递增。 【点评】当导数为二次函数时，且明确了开口方向后，若有两根，只需比较两根大小即可，不要忽略了两根相等的情况。 （3），。 ①当时，即时，恒成立。 ②当时，即时，有两根。 令得或；令得。 综上知，当时，函数在上递增； 当时，函数在上递增，在递减， 在上递增。 【点评】若导数为二次函数，同时因式分解不能实现时，这时看看导数的判别式，针对来分类讨论，也就是分析有根的情况。为了说的清楚，把这种情况单独来说比较方便。 （4） ①时，当时，，当时； ②时，，当时，，当时； ③时，当时，，当时，，当时，； ④时，在上恒成立； ⑤时，当时，，当时，，当时，。 综上知，当时，函数在上递减，在上递增； 当时，函数在上递增，在上递减，在上递增； 当时，函数在上递增； 当时，函数在上递增，在上递减，在上递增。 【点评】对于函数的定义域不是全体实数的函数来说，导函数一般有两个根，其中一个为定根，另一个根含有参数。其中，定义域的边界值和定根把整个数轴分成三部分。【如上题的定义域边界值“0”和定根“1”把数轴分成了三部分。】这种情况下，只需把含参数的根从左向右依次在三部分上讨论即可，同时不要遗漏在分界点的情况。分析时，可以画图辅助分析。如下图就是上面分类的五种分析图。 三、极值问题 （一）何为极值？ 【例5】下图若为函数的图象，则极大值点 为 ，极小值点为 。 下图若为的图象，则极大值点 为 ，极小值点为 。 【点评】极值是指局部最大或局部最小。极值点是能使函数取极值的值。 【例6】函数。 （1）若有极值，则 ； （2）若为的一个极值点，并且函数的极小值为，则 ， 。 （3）若，且有3个不同的根，则 。 【分析】（1）有极值，不是说有解就行，而是说的值要有正有负。这需要。【】 （2）函数在处取极值，可知，可求出来。但未必是函数的极小值点，还应继续分析函数的单调性，找到在哪里取极小值。【】 （3）通过分析函数单调性，再求出极大值和极小值，就可以画出函数的草图，通过分析，只需并且，的图象就会和轴有3个不同的交点。【】 【例7】函数有极大值，则 。 解：。 当时