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适时换元 事半功倍 浙江省宁波市北仑中学（315800）特级教师：吴文尧 换元法是中学数学的重要方法和技巧之一，它在函数、方程、不等式、三角等方面有着广泛的应用。通过适时换元可以消除一些无休止的运算和繁杂的讨论；通过适时换元还可以使一些看似“一筹莫展”的问题“柳暗花明”。故在解题中要注意换元法的使用；下面仅以不等式中的有关问题为例，介绍其应用，供大家参考。 1．适时换元，简化运算。 例1：（1999年全国高中数学联赛试题）已知当时，不等式： 恒成立；试求的取值范围。 解：由题意可知：时原不等式成立，即 故为第一象限角， 时：原不等式可化为： 令,则时， ∴原问题等价于：时恒成立。 故即且为第一象限角 ∴ （） 评注：①由于是关于的二次函数，因此思路较自然的常规解法是先求出在[0，1]上的最小值，然后解关于的不等式0得到的范围，但其解题过程非常繁杂，很难得到最终准确结论。 ②注意到原不等式左边是关于和的齐次式，故可以两边同除，转化为关于的二次不等式，但须，上述解法中，先由，时原不等式成立，得到是第一象限角，既为使用换元法扫清了障碍，又缩少了的范围，可谓一箭双雕。 ③上述给出的解法其基本程序仍然是常规方法，但通过适时换元后的函数比原始的二次函数要简单许多，极大地缩短了解题长度。 2．适时换元，回避讨论 例2、解不等式：0 解：令 （），则原不等式可化为： ，即， 即：.解得：，又∵， ∴，∴，即原不等式的解为：. 评注：①若本题用常规方法解之，则可化为解不等式：，必然陷入繁杂的分类讨论之中。 ②由于和三角中的万能代换公式的结构相近，且解这个不等式的关键是如何用“合法”的手段去掉根号。注意到，故容易想到上述换元，并“由内而外”地去根号，巧妙地回避分类讨论。 3．适时换元，简化讨论 例3．解关于x的不等式： （） 解：令则原不等式可化为 ①时：原不等式的解集为： ②时：原不等式的解集为： 评注：①由于不等式的解集和的值的大小相关，故不可避免要视的值的大小进行讨论，通过上述换元可使讨论过程简化到最低限度。 ②由于原不等式的总体结构为绝对值不等式，故先按解绝对值不等式的思想方法进行。 4．适时换元，优化结构 例4、设求证： 证明：令 则 故原不等式等价于：…………* ①若则不等式*显然成立。 ②若则，否则中必有两个为负值，不仿设 ，即与c0矛盾。 由①②可知不等式*成立 ，∴原不等式成立。 评注：由于涉及两、三个字母的基本不等式为和 等，原不等式的结构显然和它们格格不入，通过适时换元，优化了不等式的结构，把原不等式化归为易于证明的不等式*，从而使问题得到顺利解决。 5．适时换元，消除条件 例5、（2000年41届IMO试题）设且 求证： 证明：令，∵ ∴，其中， 则原不等式等价于 故只须证明：（以下同例4） 评注：本题有两个问题是必须要解决的，其一，如何使用条件“”；其二，如何优化原不等式的结构，即如何使不等式的左边和右边成“齐次”，每个括内的各项也成“齐次式”。通过上述的巧妙换元，使条件“”溶化在中，不仅把条件不等式化为无条件不等式，又优化了原不等式的结构。 例6．已知：是△ABC的三边的长， 求证： 证明：（如图）设△ABC的内切圆和三角形的三边切于D、E、F三点 令BD=x，CD=y，AE=z，则，，） 要证明： 只须证明： 只须证明： 只须证明： 只须证明： 只须证明：…………* ∵，，成立 ∴不等式*成立，故原不等式成立。 评注：易见证题过程中必须用到条件“为三角形三边的长”即必须使用隐含条件：、、；通过上述换元，消除了隐含条件后，问题也变得容易解决了。 6．适时换元，增设条件 例7、设， 求证： 证明：令 则 且 原不等式可化为： ∴只须证明： 只须证明： 只须证明：，∵成立，∴原不等式成立。 评注：①通过换元不但简化了原不等式的结构，还通过新增条件“”把三元不等式化归为二元不等式，使问题得到简捷地解决。 ②由例6和例7可知，不等式中给出的条件是一把“双刃剑”，有的条件是解题路上的“拌脚石”，有的条件是我们解决问题的“助推器”。我们既要尽量消除阻碍问题解决的条件，又要善于增设有利于问题解决的条件；而通过适时换元是解决这一问题的重要的途径之一；故在解题中要注意换元法的使用。 1 B A C E D F