第二类换元积分法中三角函数换元的简便处理.pdf

第 24卷 第 4期 湖南理工学院学报(自然科学版) Vb1．24NOI4 2011年 l2月 JournalofHunanInstituteofScienceandTechnology(NaturalSciences) Dec．2011 第二类换元积分法中三角函数换元的简便处理 周在莹 (安徽师范大学 数学与计算机科学学院，安徽 芜湖 241000) 摘 要：现行通用的数学分析I’以及高等数学 【，。】本科教材中，第二类换元积分法中使用三角函数换元时并不讨论引入 新变量的定义区间，从而导致原函数容易出错；有些教材 【】注意到了这个问题，但分区间的讨论又较为繁琐．本文对这类问 题给 出了两个使得求解较为简便的处理方法，并用实例加以了佐证． 关键词：不定积分：三角函数：换元积分 中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1672．5298(2011)04-0025—04 Jonvenie‘nt·r1nrlanst一orm an·●0n 0I』Ir一lri●t~onom etJri■c1r’U。neti■Ons W hileApplyingtheIntegrationbySubstitution ZHOU Zai—ying (CollegeofMathematicsandComputerScience，AnhuiNormalUniversity,Wuhu241000，China) Abstract：Whileusingatrigonometricfunctiontoapplyintegrationbysubstitution，thedefinitionintervalsoftheinrtoduced variablearenotdiscussedincurrenttextbooksofmathematicalanalysisaiadhighermathematics，andthisproblem arenoticedbut discussedoverelaboratelyinothers．Inthispaper,wefirstpointoutthefaultofskippingsuchdiscussion，thengivetwodifferent methodstotreat也isproblemwhichmakethesolutioncompleteandconciseandsomeexampleswereillustrated． Keywords：indefiniteintegration；trigonometricfunction；integrationbysubstiuttion 引言 众所周知，在求解一元函数的不定积分时，当被积函数含有形式为 再 ，√=丽 ， (r2T 均不妨设 口0)的无理式时，通常使用三角代换，分别令x=asint，X=atant，x=ascct，但此时关于引 入的新变量f的定义区间，有的教材根本不加说明，默认为f∈[0，号】(此时 再 =口c。sf， 丽 =secf，√=再 =dtanf)；有的教材还讨论了f∈[号，兀】的情形(此时 再 =一口c。sf， 丽 ：一口secf， 再 ：一口tant)．事实上，对f的取值范围的考虑是必要的． 1引入的新变量必须考虑定义区间 考虑定积分 一 方面，积分表上有 吉arlcc。s号+c，故由Newt0n．Leibni式，得 E +r。志 arcc。s +arcc。s：号彻· 另一方面，由于被积函数— 在对称的积分区间[_2a，一口】u 【口，2a】上是奇函数，所以 xq 一a ‘ E + 一o． 收稿 日期：2011-05．05 基金项目：安徽高校省级 自然科学研究项