[管理学]卫生管理运筹学线性规划.doc

第二章 线性规划 线性规划（linear programming，简称LP）是运筹学的一个重要分支，研究得比较早，尤其自1947年丹捷格（G.B.Dantzig）提出了单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟．线性规划研究的对象大体可分为两大类：一类是在现有的人、财、物等资源的条件下，研究如何合理地计划、安排，可使得某一目标达到最大，如产量、利润目标等；另一类是在任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财等资源，去实现该任务，如使生产成本、费用最小等．这两类问题从本质上说是相同的，即都在一组约束条件下，去实现某一个目标的最优（最大或最小）．线性规划研究的问题要求目标与约束条件函数均是线性的，而目标函数只能是一个．在经济管理问题中，大量的问题是线性的，有的可以转化为线性的，从而使线性规划有极大的应用价值．据美国《财富》杂志对全美500家大公司的调查，线性规划的应用名列前茅，有85%左右的公司频繁地使用线性规划． 线性规划问题及其数学模型 一、线性规划问题的数学模型 在生产实践和日常生活中，经常会遇到如何合理地使用有限资源（如资金、劳力、材料、机器、仪器设备、时间等），以获得最大效益的问题． 例2-1 某制药厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种药品，这些药品分别需要在四种不同的设备上加工．按工艺规定，每千克药品Ⅰ和Ⅱ在各台设备上所需要的加工台时数如表2-1．已知各设备在计划期内有效台时数（1台设备工作1小时称为1台时）分别是12、8、16和12．该制药厂每生产1千克药品Ⅰ可得利润200元，每生产1千克药品Ⅱ可得利润300元．问应如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？ 表2-1 两种药品每千克在各台设备上所需的加工台时数 药品 Ⅰ 2 1 4 0 Ⅱ 2 2 0 4 这是一个资源有限，但需利润最大的线性规划问题． 解 设，分别表示在计划期内药品Ⅰ和Ⅱ的产量（千克），表示这个期间的制药厂利润．则计划期内生产Ⅰ、Ⅱ两种药品的利润总额为（元）．但是生产Ⅰ、Ⅱ两种药品在设备上的加工台时数必须满足；在设备上的加工台时数必须满足；在设备上的加工台时数必须满足；在设备上的加工台时数必须满足；生产Ⅰ、Ⅱ两种药品的数量应是非负的数，即．于是上述的问题归结为： 目标函数 约束条件 同样，在经济生活和生产活动中也遇到另一类问题，即为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使消耗（人力、设备台时、资金、原材料等）为最少． 例2-2 用3种原料配制某种食品，要求该食品中蛋白质、脂肪、糖、维生素的含量不低于15、20、25、30单位．以上3种原料的单价及每单位原料所含各种成分的数量，如下表2-2所示．问应如何配制该食品，使所需成本最低？ 表2-2 　3种原料所含成分 营养成分 原料 食品中营养成分的最低需要量（单位） 蛋白质（单位/千克） 5 6 8 15 脂肪（单位/千克） 3 4 6 20 糖（单位/千克） 8 5 4 25 维生素（单位/千克） 10 12 8 30 原料单价（元/千克） 20 25 30 这个问题是在食品的营养要求得到满足的前提下，如何通过适当的原料配比，使食品的成本最低． 解 设分别表示原料的用量（千克），表示食品的成本（元），则这一食品配制问题变为： 目标函数 约束条件 例2-3 某医院每天至少需要下列数量的护士（见表2-3）． 表2-3 某医院每天至少需要的护士数 班次 时间 护士数 1 上午6时－上午10时 60 2 上午10时－下午2时 70 3 下午2时－下午6时 60 4 下午6时－晚10时 50 5 晚10时－凌晨2时 20 6 凌晨2时－上午6时 30 每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时．试问：为满足每班所需要的护士数，医院最少应雇用多少护士？请列出线性规划问题