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第三章 扭转 §3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 空心圆截面： D dr r O d 注意：对于空心圆截面 D dr r O d 此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体。 单元体·切应力互等定理 单元体—— Me Me x y z a b O c d dx dy dz t t t t 自动满足 存在t 得 单元体的两个相互垂直的截面上，与该两个面的交线垂直的切应力数值相等，且均指向(或背离) 两截面的交线。 切应力互等定理 单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。 d a b c t t t t x y z a b O c d dx dy dz t t t t Ⅱ、斜截面上的应力 假定斜截面ef 的面积为d A a e f d a b c t t t t x a n t t ta a h x sa f e b a x 讨论： 1、 2、 此时切应力均为零。 f t a t ta e b a h x sa x 解得 t t t t x 45° 45° smax smax smin smin Ⅲ、强度条件 等直圆轴 材料的许用切应力 (1) 校核强度： (2) 设计截面尺寸： (3) 计算许可载荷： 例3-4 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN?m，MB=36 kN?m，MC=14 kN?m。材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴的强度。 解： 1、求内力，作出轴的扭矩图 22 14 T图（kN·m） MA MB Ⅱ Ⅰ MC A C B BC段 AB段 2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度 即该轴满足强度条件。 22 14 T图（kN·m） 例3-5 实心圆截面轴Ⅰ和空心圆截面轴Ⅱ (a = d2/D2 =0.8)的材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以及两轴的重量比。 (a) Me Me d1 l Ⅰ Me (b) Me l Ⅱ D2 d2 解： 已知 得 两轴的重量比 可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。 讨论： 为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？ §3-5 等直圆轴扭转时的变形?刚度条件 Ⅰ、扭转时的变形 ——两个横截面的相对扭转角j 扭转角沿杆长的变化率 相距d x 的微段两端截面间相对扭转角为 g Me Me j dj g D T T O1 O2 a b a b dx D A 等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时 相距l 的两横截面间相对扭转角为 g Me Me j 称为等直圆杆的抗扭刚度 (单位：rad) 例3-5 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592N?m, M2=955 N?m，M3=637 N?m， d =70mm， lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相对于B的扭转角jCB。 解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩： BA段 AC段 M1 Ⅱ Ⅰ M3 B A C M2 d lAB lAC 2、 各段两端相对扭转角： jCA jAB M1 Ⅱ Ⅰ M3 B A C M2 d lAB lAC 3、 横截面C相对于B的扭转角： jAB jCA M1 Ⅱ Ⅰ M3 B A C M2 d lAB lAC Ⅱ、刚度条件 等直圆杆在扭转时的刚度条件： 常用单位：?/m (1)校核刚度： (2)设计截面尺寸： (3)计算许可载荷： 例3-6 由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5。已知材料的许用切应力[t ] = 40MPa ，剪切模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax= 9.56 kN?m ，轴的许可单位长度扭转角[? ]=0.3 ?/m 。试选择轴的直径。 解：1、按强度条件确定外直径 D 2、由刚度条件确定所需外直径D 3、确定内外直径 §3-6 等直圆杆扭转时的应变能 等直圆杆仅在两端受外力偶矩 Me 作用且 时 或 g Me Me j j Me Me j 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时 或 jAB jCA M1 Ⅱ Ⅰ M3 B A C M2 d lAB lAC 纯剪切应力状态下的应变能密度( ) x y z a b O c dx d dy dz t t t t O t g tp g 扭矩T为常量时，长为 l 的等直圆杆的应变能为 等直圆杆的扭转应变能与应变能密度的关系 g Me Me j 例3-7图示空心圆杆 AB，A端固定，底板 B为刚性杆，