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2008imc队际赛试题解答
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队际赛试题 2008/10/28 泰国清迈
1. 若最简分数 p 写成小数形式为 0.abababab…. (这里非负整数 a 、b 可以相等,
q
但至少有一个非零) 。请问符合条件的分数中,不同的分子有多少个?
k
解答:形如0.abababab... 的小数都能写成 的形式,k 是正整数,k 1,2,3,...,98 。(5 分)
99
在 1, 2, 3, … , 99 中,或者是3 的倍数,或者是 11 的倍数的数有
99 99 99
é ù é ù é ù
+ - 39 ,
ê ú ê ú ê ú
3 11 3 ´11
ë û ë û ë û
所以,在 1, 2, 3, … , 99 中与99 互质的正整数,有 99 -39 =60 个。(10 分)
27 3 54 6 81 9
又 27 的倍数,有 3 个(因为 , , 要补回 3, 6, 9 三个数) 。(20 分)
99 11 99 11 99 11
故不同的分子共有 60+3 =63 个。(5 分)
2. 在下图 8×8 方格表的 64 个小方格已填有一些数,请删去一些方格内的数,
使得同一行或同一列上未删去的格子内均无相同的数。任两个有共同边的小
方格不可以同时删除,删除的小方格要越少越好。
6 4 5 7 7 3 3 5
4 8 4 3 6 7 5 1
3 1 5 7 7 7 6 2
7 5 5 8 8 4 2 3
4 5 6 5 8 1 7 3
3 3 3 6 1 8 8 3
1 7 3 2 3 6 4 8
1 6 2 2 4 5 8 7
解答:我们先忽略没有冲突的格子。接着我们从同一行或同一列有连续三个相同的数开始,
如此的三个数我们必须删除最外侧的两个数而留下中间的数,我们把要删去的数上面打个
× 号。从图中我们可发现有三处这样的数,而所有与删去的方格有共同边的小方格内的
数必须保留,确定要保留的数我们画上圆圈来标记,如下左图所示。
5 7 7 3 3 5 5 7 7 3 3 5
○ ○
4 4 7
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