第2章各向异性材料的弹性力学基本知识.ppt

因此，为了求得 ，必须知道 及 求 （2.4-1） 式得逆关系，得应力应变关系式 式中[Q]称为折减刚度矩阵，它的元素是 （2.4-3） 返回章节目录 （2.4-4） 显然，各向正交异性材料的平面应力问题有4个独立的 常数 ， ， 及 返回章节目录 2.5 简单层板在任意方向上的应力—应变关系 Y 2.5-1螺旋缠绕玻璃纤维增强圆柱壳 在上节中，应力和应变关系式定义在正交各向异性材料的主方向上的。但是，正交各向异性材料的主方向和几何上适应解题要求的坐标轴方向往往不一致。 例如，螺旋缠绕玻璃纤维增强的圆柱壳（如图）。这里，适应解壳问题需要的坐标是壳坐标系X，Y，Z，而材料主方向坐标是X/，Y/ ， Z/ ，缠绕角由 决定 ， 。 设x’，y’，z’坐标轴和原来坐标轴x，y，z间的方向余弦依次为 如表2.5-1所示 返回章节目录 既需要材料主向的应力应变关系式，更需要物体坐标轴向的应力应变关系式。也就是说，需把一个坐标系中的的应力应变关系式变换到另一个坐标系中去。 表2.5-1 坐标轴的转换 x y z 返回章节目录 根据弹性力学转轴时应力分量及应变分量的变换公式 （2.5-1） （2.5-2） 及 是由表2.5-1所示方向余弦所组成的应力及 应变变换阵 式中 及 依次表示在x’，y’，z’轴下描述的应力分量及应变分量的列阵； 及 分别表示在x，y，z轴下的应力分量及应变分量的列阵。 返回章节目录 返回章节目录 返回章节目录 再求关系式（2.5-1）及（2.5-2）的逆，得 （2.5-5） （2.5-6） 利用下述的方向余弦间恒等关系 返回章节目录 不难证明 （2.5-7） （2.5-8） 式中符号“T”表示转置。 设在旧的及新的坐标系下的应力应变关系分别为 （2.5-9) （2.5-10） 式中[C]及[C’]分别为旧和新坐标系下的刚度阵。 返回章节目录 将（2.5-5）及（2.5-6）式代入（2.5-9）式，得 （2.5-11） 应用关系式（2.5-8），比较（2.5-10）及（2.5-11）式， 即得 （2.5-12） 同理可推导得 返回章节目录 以上两式就是坐标变换时，弹性常数变换为公式的矩阵形式。 下面考虑平面应力问题（单层板）的应力和应变的变换。设材料主向坐标系1-2与自然坐标系x-y ，如图2.5-2所示。他们之间的方向余弦如表2.5-2所示。 将表2.5-2所示方向余弦代入（2.5-3）式，得到平面应力问题的应力变换矩阵，再把它代入（2.5-1）式，即得平面应力问题的应力变换公式： 返回章节目录 正交各向异性材料的应变应力关系式为（ 9个独立弹性常数）： 返回章节目录 横观各向同性材料的应变应力关系式为（ 5个独立弹性常数）： 返回章节目录 各向同性材料的应变应力关系式为（ 2个独立弹性常数）： 返回章节目录 2-2 正交各向异性材料的工程常数 如图2.2-1所示，单向纤维增强复合材料属于正交各向异性材料。沿着纤维方向是材料的主轴之一，另两个材料主轴与纤维相垂直。这种材料的柔度矩阵如（2.1-22）所示。为了适应当前一些科技人员在进行结构设计时的需要，可换用弹性模量、泊凇比、剪切模量等工程常数来表示柔度矩阵。根据广义虎克定律，应变应力的关系式写为 返回章节目录 （2.2-1） 返回章节目录 图2.2-1 正交各向异性材料 比较（2.2-1）及（2.1-22）式，用工程常数表达的柔度矩阵可写成 返回章节目录 （2.2-2） 返回章节目录 表示由于沿材料主向i作用力 而在材料主向j引起横向变形的泊凇比（图2.2-2）即 （当 0，其它应力分量为零） 式中 （i=1,2,3）表示沿材料主向i的扬氏模量。即等于 （当 0，其它应力分量为零） 表示在i-j平面的剪切模量（i，j=1，2，3） 由于柔度矩阵 是对称阵，从（2.2-1）式可得 (i,j=1,2,3) (2.2-3) 返回章节目录 因此，正交各向异性材料必须满足下列三各互等条件 ， ， （2.2-4） 返回章节目录 这样，只须对 ， 及