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2014年高考数学二轮精品复习资料_专题-不等式(教师版)
2012届高考数学二轮复习资料
专题六 不等式(教师版)
【考纲解读】
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题,形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力.
从近几年高考题目来看,不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现,且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合,难度较低.
【考点预测】
本章知识的高考命题热点有以下两个方面:
1.均值不等式是历年高考的重点考查内容,考查方式多样,在客观题中出现,一般只有一个选择或填空,考查直接,难度较低;在解答题中出现,其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,难度较高。
2.不等式证明也是高考的一个重点内容,且多以解答题的一个分支出现,常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合,题目往往非常灵活,难度高。线性规划问题是近几年高考的一个新热点,在考题种主要以选择、填空形式出现,当然,也可以实际问题进行考查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用,体现了数学的应用价值,从而形成解决简单实际问题的能力,进一步考查了考生的数学应用意识。
3.预计在2012年高考中,对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法,仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用,突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用,特别是求最值问题、不等式证明问题,将继续强调考查逻辑推理能力,尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。
【要点梳理】
1.不等式的性质与证明:
(1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二定三相等”,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式;(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。
2.不等式的解法:
(1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法
(2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案.
对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值.
3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.
【考点在线】
考点一 不等式的性质
例1.(2011年高考浙江卷文科6)若为实数,则“”是“”的( )
A. B.C. D.【答案】 【解析】 不充分
则 不必要条件,故选D.
【名师点睛】本题考查不等式的性质与充分必要条件,可利用作差比较法,也可用特殊值代法.
【备考提示】:不等式的性质是高考考查的热点之一,几乎年年必考,不等式的性质经常与充分必要条件结合在一起综合考查,熟练不等式的各项性质是解答好本题的关键.
练习1:(2011年高考全国卷文科5)下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】 故选A.
【名师点睛】本小题先用“1”的代换,再展开后,应用均值不等式.
【备考提示】:熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键.
练习2: 2010年高考山东卷文科14)已知,且满足,则xy的最大值为 .
【答案】3
【解析】因为,所以,解得,故xy的最大值为3.
考点三 解不等式
高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具,是求函数的定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段,“不等式的变形”是研究数学的基本手段之一,它渗透到高中数学的每个角落中(如函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等),其基本思想是转化思想.转化的方法是: 超越式分式整式(高次)整式(低次)一次(或二次)不等式.其中准确熟练求解一元二次(一次)不等式是解其他不等式的基础,解一元高次不等式的有效方法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用.
不等式的解法是高考必考内容,直接考查主要以选择题、填空题为主,这类题小巧灵活,常考常新;但有时也以解答题形式出现,主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多,常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考
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