微分方程模型之人口增长模型.pptVIP

传染病模型学习小结 本节学习要求 退 出 前一页 后一页 一 常用传染病模型类型—微分方程模型 1指数增长模型 2 SI模型(logistic模型) 3 SIS模型 4 SIR模型 二 SAS传播模型中的收获 增加人群分类，构建SEIR或SEPIR模型 关于经济的正面或负面影响地分析 ——学会全面地看问题 写作是建模学习的一个重要内容. 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 微分方程模型之如何预报人口的增长 指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 x(t) ~时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） r是x的减函数 dx/dt x 0 xm xm/2 xm t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 专家估计 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2557, xm=392.1 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 实际为281.4 (百万) 阻滞增长模型(Logistic模型) 指数增长模型 模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量) r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 5.6 人口预测和控制 年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移 人口发展方程 人口发展方程 一阶偏微分方程 人口发展方程 ~已知函数（人口调查） ~生育率（控制人口手段） 0 t r 生育率的分解 ?~总和生育率 h~生育模式 0 人口发展方程和生育率 ~总和生育率——控制生育的多少 ~生育模式——控制生育的早晚和疏密 正反馈系统 滞后作用很大 人口指数 1）人口总数 2）平均年龄 3）平均寿命 t时刻出生的人，死亡率按 ?(r,t) 计算的平均存活时间 4）老龄化指数 控制生育率 控制 N(t)不过大 控制 ?(t)不过高