高三复习：二项式定理.docVIP

§10.3 二项式定理 1.在（1+x）n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n= . 答案 10 2.在（a2-2a）n的展开式中，则下列说法错误的有 个. ①没有常数项 ②当且仅当n=2时，展开式中有常数项 ③当且仅当n=5时，展开式中有常数项 ④当n=5k (k∈N*)时，展开式中有常数项 答案 3 3.若多项式(x+1）n-C(x+1)n-1+…+(-1)rC(x+1)n-r+…+(-1)nC=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,则a0+a1+…+an-1+an= . 答案 1 4.（2008·山东理）(x-)12展开式中的常数项为 . 答案 -220 5.（2008·福建理，13）若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= .（用数字作答） 答案 31 例1 在二项式(+)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项. 解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，n（n-1）， ∴2·=1+n（n-1）， 解得n=8或n=1（不合题意，舍去）， ∴Tk+1=Cx=C2-kx4-k， 当4-k∈Z时，Tk+1为有理项， ∵0≤k≤8且k∈Z,∴k=0，4，8符合要求. 故有理项有3项，分别是 T1=x4，T5=x，T9=x-2. ∵n=8，∴展开式中共9项， 中间一项即第5项的二项式系数最大.T5=x. 例2 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 ① 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37 ② (1)∵a0=C=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2. (2)(①-②)÷2, 得a1+a3+a5+a7==-1 094. (3)(①+②)÷2, 得a0+a2+a4+a6==1 093. (4)∵(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6都大于零, 而a1,a3,a5,a7都小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7), ∴由(2)、（3）即可得其值为2 187. 例3 （14分）（1）已知n∈N*,求证：1+2+22+23+…+25n-1能被31整除； （2）求0.9986的近似值，使误差小于0.001. （1）证明 ∵1+2+22+23+…+25n-1 ==25n-1=32n-1 3分 =（31+1）n-1 =31n+C·31n-1+C·31n-2+…+C·31+1-1 =31（31n-1+C·31n-2+…+C） 6分 显然括号内的数为正整数， 故原式能被31整除. 7分 （2）解 ∵0.9986=（1-0.002）6 =1-C（0.002）+C（0.002）2-C（0.002）3+… 10分 第三项T3=15×(0.002)2=0.000 06＜0.001,以后各项更小,∴0.9986≈1-0.012=0.988. 14分 1.在（3x-2y）20的展开式中，求： （1）二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大的项. 解 （1）二项式系数最大的项是第11项， T11=C310（-2）10x10y10=C610x10y10. （2）设系数绝对值最大的项是第r+1项， 于是， 化简得，解得7≤r≤8. 所以r=8, 即T9=C312·28·x12y8是系数绝对值最大的项. （3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大，于是 ， 化简得. 解之得r=5,即2×5-1=9项系数最大. T9=C·312·28·x12y8. 2.求x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3(1-3x)7展开式中各项系数的和. 解 设x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3(1-3x)7 =a0+a1x+a2x2+…+anxn 在原式中，令x=1, 则1×(1-1)4+12×(1+2)5+13×(1-3)7=115, ∴展开式中各项系数的和为115. 3.求证:3n＞(n+2)·2n-1 （n∈N*，n＞2）. 证明 利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明. 因为n∈N*，且n＞2,所以3n=(2+1)n展开后至少有