三重积分一分布图示引例三重积分的定义三重积分的计算.DOCVIP

第四节 三重积分(一) 分布图示 ★ 引例 ★ 三重积分的定义 ★ 三重积分的计算——投影法 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 三重积分的计算——截面法 ★ 例7 ★ 例8 ★ 利用对称性化简三重积分计算 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题10—4 ★ 返回 内容要点 一、三重积分的概念：, 当 1时，设积分区域的体积为，则有 ， (4.2) 这个公式的物理意义是：密度为1 的均质立体的质量在数值上等于的体积. 二、直角坐标系下三重积分的计算 投影法 截面法 三、利用对称性化简三重积分计算 一般地,如果积分区域关于平面对称,且被积函数是关于的奇函数, 则三重积分为零; 如果被积函数是关于的偶函数, 则三重积分为在平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍. 当积分区域关于或平面对称时，也有完全类似的结果. 例题选讲 投影法 例1 (E01) 计算三重积分 其中为三个坐标面及平面所 围成的闭区域. 解 如图(见系统演示)，将区域向面投影得投影区域 为三角形闭区域 在内任取一点过此点作平行于轴的直线， 该直线由平面穿入，由平面穿出，即有 所以 例2 (E02) 化三重积分为三次积分,其中积分区域为由曲面 及所围成的闭区域. 解 注意到题设两曲面的交线为一圆故在面上的投影为圆域或 对内任一点有 所以 例3 (E03) 计算其中是由曲面与平面所围成. 解 将往平面投影得投影域是个圆域，而的左界面为， 右界面为.故 采用极坐标计算这个二重积分得 注:若将往面投影，再计算则比较复杂. 例4 计算积分 其中由曲面, 所围成. 解 区域介于曲面与平面之间,将投影到平面得投影区域 原式 例5 化三重积分为三次积分, 其中积分区域为由曲面, 所围成的空间闭区域. 解 如图(见系统演示)，积分区域介于平面与旋转抛物面之间,且 在面上的投影为 所以 例6 (E04) 求由曲面所围立体的体积. 解 由于曲面仅相交于原点，则积分区域在平面上的投影区域为下曲面为上曲面为于是 例7 (E05) 计算三重积分 其中为三个坐标面及平面所围 成的闭区域. 解 (1) 截面故 原式 (2) 根据例1所确定的积分限,有 例8 (E06) 求,其中是由椭球面所成的空间闭区域. 解 易见，区域在轴上的投影为在此区间内任取作垂直于轴的平面, 截得一椭圆截面所以 原式 利用对称性化简三重积分计算 例9 (E07) 计算 其中积分区域 解 如图(见系统演示)，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数，所以 例10 (E08) 计算,其中是锥面和平面所围空间区域. 解 如图(见系统演示)，因为积分区域关于面对称，被积函数中的是变量的奇函数， 所以从而有 由于被积函数只是的函数，可利用截面法求之. 积分区域介于平面与之间，在任取一点 作垂至于轴的平面，截区域得截面为该截面得面积为所以 课堂练习 1.设由六个平面 围成的闭区域, 试将化为三次积分. 2.计算其中是由曲面所围成的立体区域. 3.计算三重积分其中为上半球体: .