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六多变数函数的积分
六 多變數函數的積分
1 二重積分
正如單變數函數的積分, 可以提供計算面積的方
Z
法, 研究雙變數函數積分的動機之一, 是計算體
z = f(x,y)
積, 例如右圖 z = f (x, y) 函數曲面下的體積.
雙變數函數的積分稱為 二重積分, 除了被積分
的函數之外, x-y 平面上的積分範圍 (相當於 Y
b f (x)dx 中的 [a, b]) 稱為積分的區域, 底下是
a
一些區域的例子: X
Y Y Y
d y=h(x)
X
c
y=g(x)
X
X
a b a b
回顧定積分 b f (x) dx 的定義是黎曼和的逼近, 而黎曼和的構作, 有三個基本的要素:
a
(1) 將積分的區間 [a, b] 作等分割為 N 段,
b − a
x0 = a x1 xN −1 xN = b, ∆x = xi − xi−1 =
N
(2) 在每一個區間 [x , x ], i = 1, N , 任找一點 ξ ∈ [x , x ], 取 f (ξ ) 為長方形的
i−1 i i i−1 i i
「長」, ∆x 為長方形的底寬, 得到一 [x , x ] × f (ξ ) 的長方形.
i−1 i i
N N →∞ b
(3) 最後黎曼和 ≡ f (ξ )∆x −→ f (x) dx.
i=1 i a
接著我們要用類似的黎曼和想法來處理二重積分, 首先處理左上圖的長方形這種最簡單的
區域: Ω = [a, b] × [c, d].
(1) 分割: 將 [a, b] 等分割成 M 段, [c, d] 等分割成 N 段, 得
b − a
x0 = a x1 xN −1 xM = b, ∆x =
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