九年级数学圆知识点及习题.doc

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13 - 九年级数学《圆》知识点祥解及习题检测 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 点在圆内; 2、点在圆上 点在圆上; 3、点在圆外 点在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点; 2、直线与圆相切 有一个交点; 3、直线与圆相交 有两个交点; 四、圆与圆的位置关系 外离(图1) 无交点 ; 外切(图2) 有一个交点 ; 相交(图3) 有两个交点 ; 内切(图4) 有一个交点 ; 内含(图5) 无交点 ; 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙中,∵∥ ∴弧弧 六、圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①;②; ③;④ 弧弧 七、圆周角定理 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴ 2、圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧; 即:在⊙中,∵、都是所对的圆周角 ∴ 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。 即:在⊙中,∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即:在△中,∵ ∴△是直角三角形或 注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙中, ∵四边形是内接四边形 ∴ 九、切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:∵、是的两条切线 ∴ 平分 十一、圆幂定理 (1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即:在⊙中,∵弦、相交于点, ∴ (2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即:在⊙中,∵直径,

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