基本不等式第一课时课件.ppt

* * 课题: §3.4基本不等式 第一课时 1.课题导入 基本不等式 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 探究图形变化过程 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 2．得到结论： 3．思考：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 特别的，如果a0,b0,我们用 分别代替a、b ，可得 通常我们把上式写作 4．1）认识基本不等式 只要证 a+b （2） 要证（2），只要证 a+b- 0 （3） 要证（3），只要证 （ - ） 0 （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 用分析法证明： 要证 （1） 2）从不等式的性质推导基本不等式 3、例题讲解 例1 已知x、y都是正数，求证： (1) ≥2； 分析：在运用定理： 时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 解：∵x，y都是正数 ∴ ＞0， ＞0 =2 （当且仅当x=y时，式中取等号。） (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. 解：∵x，y都是正数 ∴ x＋y≥2 0 ∴ x2＞0， y2＞0，x3＞0，y3＞0 x2＋y2≥2 0 x3＋y3≥2 0 ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥ ＝８x3y3 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3. 2 ·2 ·2 （当且仅当x=y时，式中取等号） （当且仅当x=y时，式中取等号） 4.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理： （a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. 解：∵a，b，c都是正数 b＋c≥2 ＞0 c＋a≥2 ＞0 ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥ 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc. =8abc ∴a＋b≥2 0 2 ·2 ·2 (当且仅当a=b=c时，上式取等号） 本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数( )， 几何平均数（ ）及它们的关系（ ≥ ）.它们成立的条件： (1)、前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数. (2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。 它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具 。 ?5.课时小结