复变量求导法.DOCVIP

复域位移灵敏度分析 郭力a 高效伟b 东南大学 土木工程学院工程力学系，南京，210096 A: lguo@seu.edu.cn B: xwgao@seu.edu.cn 摘 要：利用复变量求导法，把隐式函数的求导过程转化为函数值的计算，进而研究了基于位移信息的参数灵敏度分析，解决了梯度类优化方法中的灵敏度矩阵计算问题，提出了基于复域位移分析的弹塑性参数反演方法。数值算例验证表明本文的方法对单一参数和耦合参数的反演问题均有效可靠。本文的方法可以用于岩土工程中的参数反演问题。 关键词：复变量求导法；弹塑性参数反演；复域位移分析 1 引言 参数反演、模型修正以及结构优化等反分析研究中往往涉及到参数灵敏度计算问题，[5]。寻求一种简单快捷的方法来计算梯度是必要的。 实际工程中，由于结构位移便于测量，位移常被作为反分析的基础数据，位移对参数灵敏度的计算非常重要，但现有的反演方法中位移对反演参数不敏感。另一方面，当结构发生弹塑性变形时，位移与结构参数间是非线性关系，且这种关系一般是隐式形式，无法解析地求出位移对待反演参数的偏导数，常用的基于位移的参数反演方法可靠性较低。本文针对这一问题，提出基于复变量求导法的灵敏度数值计算方法，通过复域位移分析来反演弹塑性参数。 2 复变量求导法 反分析的关键是目标函数对参数偏导数的计算，而隐式函数偏导数的解析分析非常困难，可行的办法是数值求解偏导数。针对函数偏导数的数值计算问题，Lyness[9]早在1967年创造性地给出了复变量求导法。该方法把偏导数的计算转化为复域函数值的计算，相应的偏导数计算精度很高。近来，Gao[10]发展了该方法，成功地用于复杂结构的三维边界元计算。在复变量求导法中，把以x为自变量的实函数转化为以为自变量的复变函数，这里为单位虚数，当很小时（如），复变函数的泰勒展式为： （1） 比较等式两边的虚部和实部，可得： （2） （3） 当很小时，由（2）式和（3）式给出的函数一阶和二阶偏导数精度很高。Gao[10]在其论文中通过求解奇异函数和强非线性函数的偏导数，证明了复变量求导法给出的偏导数数值解的精度远高于差分法给出的解答。由（2）式还可以看出，求解函数的一阶偏导数时，只要把原来实函数的自变量加上一个很小的虚部，求出复变函数的值，取其虚部再除以小量，即可得到函数的一阶偏导数。该过程简单，主要的计算量是求解复变函数的值，与计算实函数值的计算量相当。重要的是，该过程可以用于隐函数的偏导数计算，一步即可完成计算，计算量是常规差分法的一半，甚至更低。 结构发生弹塑性变形时，位移与弹塑性参数是强非线性关系，且这种关系是隐式的，利用上述的复变量求导法来计算位移对弹塑性参数的灵敏度将是可行的。 3 复域位移参数灵敏度分析 结构发生弹塑性变形时，位移是材料参数的函数，即： （4） 这里和为弹性模量和泊松比。采用Mohr-Coulomb屈服准则时，为粘聚力，为内摩擦角。一般情况下关于为线性函数，关于为非线性函数，关于和为隐式的高度非线性函数。 设待反演的参数向量为，结构位移的测量值为，由（4）式可得： （5） 上式的参数反演问题即相当于如下方程的求根问题： （6） 利用牛顿－辛普生法，方程（6）的求根迭代公式为： （7） 这里为迭代次数，为迭代次后方程（6）的近似根。为函数在处的Jacobin矩阵。 令，由（7）式可得： （8） 设共有个测点，令，其中为第点处的位移测量值，为反演参数取近似值时第点处的位移计算值。由（8）式可得： （9） 这里的Jacobin矩阵亦即为优化方法中的灵敏度矩阵： （10） 一般情况下，要求测点数不小于待反演的参数个数，即，则上面的Jacobin矩阵为长方阵。利用最小二乘法即可求出方程（9）的最优解为： （11） 把（11）式代入（7）和（8）式，可得： （12） 循环迭代（