作业113.doc

1. 设函数f(x)=cos(2x+)+sinx. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2)设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，且C为锐角，求sinA. 2. 已知锐角△中，角的对边分别为，且= （1）求； （2）求. 3. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列． （1）求数列的通项公式.（2）令求数列的前项和． 4. 已知是函数的一个极值点。 （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 5. 已知是实数，函数． (Ⅰ)若，求值及曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)求在区间上的最大值． 6. 如图，在所有棱长均为的正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为BC的中点. （1）求证：AD⊥BC1； （2）求二面角A—BC1—D的大小； （3）求点B1到平面ABC1的距离. 7. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切. （）求椭圆的方程； （）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围； （）在（）的条件下，证明直线与轴相交于定点. 三.解答题答案: 1. （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.= 所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. （2）==－, 所以, 因为C为锐角, 所以, 又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以 . 2. (1) (2) 3. 由已知得 解得． 设数列的公比为，由，可得． 又，可知，即，解得 由题意得．故数列的通项为． （2）由于 由（1）得 又 是等差数列． 故． 4. （Ⅰ）因为, 所以, 因此 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， , . 当时，, 当时， . 所以的单调增区间是, 的单调减区间是. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，, 所以的极大值为，极小值为. 因此, , 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当, 因此，的取值范围为. 5. （Ⅰ），因为，所以． 又当时，，， 所以曲线在处的切线方程为． （Ⅱ）令，解得，． ①当，即时，在上单调递增，从而 ②当，即时，在上单调递减，从而． ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增 从而 综上所述， 6. （1）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥面ABC，∴面ABC⊥面B1C1CB； ∵D为BC中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥面B1C1CB，…………………………………2分 ∵BC1面B1C1CB，∴AD⊥BC1. ……………………………………………………4分 （2）过D作C1B的垂线DE，垂足是E，连AE.由（1）知，AD⊥面B1C1CB， ∴AE在面B1C1CB上的射影是DE，故AE⊥BC1， ∴∠AED就是二面角A—BC1—D的平面角. …………………………………………6分 依题设, BC1=a, 故在△BC1D中, DE===， 又AD=a, 在Rt△ADE中，tan∠AED===. ∴二面角A—BC1—D的大小为arctan.……………………………8分 (3)依题设，AC1=BC1=, 取AB的中点F，连C1F，则C1F=. 设B1到面ABC1的距离为d，则由=， 得=，………………………………… 10分 =，d=，即B1到面ABC1的距离为. 12分 7. （Ⅰ）由题意知，所以，即. 又因为，所以，. 故椭圆的方程为.…………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为. 由 得. ①…………6分 由， 得，又不合题意， 所以直线的斜率的取值范围是或.………………8分 （Ⅲ）设点，，则. 直线的方程为. 令，得.…………………………………………10分 将，代入， 整理，得. ② 由①得 ，代入② 整理，得. 所以直线与轴相交于定点.……………………………………13分