幂函数y-福州四中.PPT

2.3　幂函数 【课标要求】 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3， ，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况． 【核心扫描】 1．幂函数的概念和性质．(重点) 2．五种幂函数的图象的特点．(难点) 3．幂函数与指数函数的区别．(易混点) 新知导学 1．幂函数的概念 函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质 互动探究 探究点1 幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a0且a≠1)有何区别？ 提示　幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，在指数函数y＝ax中，底数是常数指数是自变量． 探究点2 “幂函数的图象都不过第二、四象限”对吗？ 提示　不对，幂函数y＝x2的图象过第二象限，所有的幂函数的图象都不过第四象限，因为对y＝xα而言， 当x0时，必有y0. 类型一　幂函数概念的理解及应用 【例1】 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． [思路探索]　首先根据幂函数的定义，幂的系数为1，其次根据性质确定m的值，进而得解． 解　根据幂函数定义得， m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数， 当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． ∴f(x)的解析式为f(x)＝x3. [规律方法]　(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．(2)幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错． 【活学活用1】 若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1的图象与坐标轴没有交点，试求实数m的值． 解　由f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1是幂函数， 则m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3. (1)当m＝3时，f(x)＝x11过原点(0,0)，与坐标轴相交，不合题意； (2)当m＝－1时，f(x)＝x－1的图象与坐标轴无公共点．因此，实数m的值为－1. [思路探索]　先画出两函数在同一坐标系中的图象，再观察函数值的变化情况，得出结论． [规律方法]　1.幂函数y＝xα的图象恒过定点(1,1)，且不过第四象限． 2．解决幂函数图象，需把握两个原则：(1)幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小． [规律方法]　1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数． 2．若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量． . 易错辨析　幂函数的性质理解不透致误 【示例】 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足 课堂达标 1．下列函数是幂函数的是 (　　)． A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 解析　函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数． 答案　B 4．幂函数y＝(m2－m－1)x－m在x∈(0，＋∞)上为减函数，则m的值为________． 解析　由m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1. 又当m＝2时，y＝x－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，合题意； 当m＝－1时，y＝x在x∈(0，＋∞)上为增函数，不合题意． 答案　2 5．已知幂函数f(x)＝xm2－4m的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上递减，求整数m的值． 解　由题意，得m2－4m0， ∴0m4. 当m＝1或3时，f(x)＝x－3图象不关于y轴对称； 当m＝2时，f(x)＝x－4的图象关于y轴对称， 且在(0，＋∞)上递减． 故整数m＝2. 课堂小结 1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量． 2．幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小． 3．简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1. (2)如果α0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是