拉格兰兹及其插值公式.PDFVIP

拉格蘭茲及其插值公式 國立中正大學數學系◆余文卿 教授 一直領導歐洲數學界的龍頭法國 ，在笛卡兒 （Rene Descartes ¯ 1596 ～1650 ）、巴斯卡 （Blaise Pascal ¯ 1623～1662 ）與費馬 （Pierre de Fermat ¯ 160 1～1665 ）相繼凋謝後 ，在往後 的一個世紀都未曾出現足夠份量的數學家 。而在同一時期的英國 ，研究數學的熱潮一直沒有減 退的跡象 ，先是牛頓 （Isaac Newton ¯ 1642～1727 ），繼起的是泰勒 （Brook Taylor ¯ 1685～ 1731 ）、史特林 （James Stirling ¯ 1692～1770 ）與馬克勞林 （Colin Maclaurin ¯ 1698～1746 ）， 又德國的萊布尼茲 （Gottfried Wilhelm Leibniz ¯ 1646～17 16 ）也趕上這熱潮 。瑞士方面的數學 活動以伯努利家族與尤拉 （Leonhard Euler ¯ 170 1～1783 ）為首 。直到十八世紀的末期 ，巴黎 才又成為數學的研究中心 ，而主導的功臣是三個數學巨頭 ：拉格蘭茲 （Joseph Louis Lagrange ¯ 1736 ～18 13 ）、拉普拉斯 （Pierre Simon Laplace ¯ 1749 ～1827 ）與羅詹德 （Adrien Marie Legendre, 1752～1833 ）。 一　拉格蘭茲小傳 生為義大利人 ，由德國人領養成人 ，但選擇當法國人 ，拉格蘭茲是繼尤拉之後 ，十八世紀最 偉大的數學家 。當他進入杜寧大學時 ，主要的興趣是物理 ，可是在他有機會見識到天文學家哈利 （Edmond Halley ¯ 1656～1742 ）利用牛頓力學所得到的結果時 ，他馬上轉向到使天文力學重生 的數學 。在他 18 歲時 ，就被聘任為杜寧皇家砲兵學校的幾何學教授 。法國的科學家研究院也習 慣性地把拉格蘭茲列為兩年一度給獎的候選人 。在 1764 年到 1788 年之間 ，他五度以數學在天文 學上問題的應用而得獎 。 於 1776 年 ，當尤拉與當時普魯士國王的菲德烈大帝 （Frederic the Great ）相處不愉快 ，離開 柏林科學院而重回聖彼得堡的科學院時 ，拉格蘭茲填補了尤拉所留下的空缺 ，而邀請函明白寫 著 ：全歐洲最偉大的幾何學家早該與最偉大的國王相左右 。菲德烈大帝也寫信感謝推薦拉格蘭茲 給他的法國數學家達朗伯特 （D’Alembert ¯ 17 17～1783 ），信上寫著 ：在您誠心的推薦下 ，我 才得以把兩眼半盲的數學家 （指的是尤拉）換下 ，如此才對得起那些健全的科學院研究人員 。往 後的二十年 ，拉格蘭茲一直擔任柏林科學院研究院數學部門的所長 ，研究成果非常豐碩 ，《解析 力學》於 1788 年分成四冊出版 ，這也奠定了他的學術地位 。 菲德烈大帝死於 1786 年 ，拉格蘭茲失去最關愛他的人 ，於是決定接受法國國王路易十六的 邀請 ，進入巴黎的科學研究院 ，他成為法國的公民，但長年在數學界打滾 ，使他染上輕度的精神 憂鬱症 ，也使他對數學的口感完全喪失 。奇怪的是 ，法國大革命期間的紛紛擾擾 ，居然使他從憂 鬱症中清醒過來 。 於 1793 年 ，一些老的法國大學被裁撤 ，科學研究院也受到擠壓 ，倒是新成立了兩個學校 ，  e ZX數學天地 數 學 講 座 一是師範學院 （Ecole Normale ），另一是工藝學院 （Ecole Polytechnique ），而拉格蘭茲受邀在 這兩個學院做分析方面的授課演講 ，他似乎樂於接受 ，充分的演講筆記 ，使他成為最傑出的教 師 ，他在微分學上的筆記後來成為數學另一分支解析函數論 （1797 年）的基礎 。 二　插值公式 坐標平面上 ，給定 n 1 個 x 坐標兩兩相異的點