指数与对数111－4对数函数及其图形甲对数函数及图形.DOCVIP

§1－4 對數函數及其圖形 甲 .對數函數及圖形 對數函數 (1) 定義: 設 a 0, a, x 0, 則稱函數”y = f ( x ) = logx”為以a為底數的對數函數. (2) 對數函數之真數x必須為正數. (3) (i) a1時, f為嚴格遞增函數. 即 x xlogx logx (ii) 0a1時, f為嚴格遞減函數. 即 x xlogx logx 對數函數的圖形 (1) 設a0, a1, 指數函數 y = a的圖形Γ和對數函數 y = logx的圖形Γ` 是恆對稱於直線L：y = x的. (2) a1 性質： y = a與y = logx都是嚴格 遞增, 即 r s a a 0 r s logr logs 圖形都連續. y = a恆通過點 (0, 1). y = logx恆通過點 (1, 0). (c) 兩者圖形對稱於直線 y = x. 0a1 性質： y = a與y = logx都是嚴格 遞減, 即 r s a a 0 r s logr logs 圖形都連續. y = a恆通過點 (0, 1). y = logx恆通過點 (1, 0). (c) 兩者圖形對稱於直線 y = x. Notes: 設a0, a1, y = logx和 y = logx的圖形恆對稱於x軸. 例1. 試描出對數函數 y = logx的圖形, 並與 y = 2的圖形做比較. 例2. 試描出對數函數 y = logx的圖形, 並與 y = ()的圖形做比較. 例3. 利用例1.之y = logx的圖形, 與對稱的性質作下列各圖形, 並求其對稱和軸?何點? (1) y = log( -x ) (2) y = -logx (3) y = -log( -x ) 類題. 利用例2.之y = logx的圖形, 與對稱的性質作下列各圖形, 並求其對稱和軸?何點? (1) y = log( -x ) (2) y = -logx (4) y = -log( -x ) 例4. 試作出y = log| x | 與y = | logx | 的圖形. 類題. 試作出| y |= logx 與 | y | = | logx | 的圖形. 對稱圖形 對稱圖形之方程式的求法： 對稱x軸以-y代y. (2) 對稱y軸以-x代x. (3) 對稱x - y = 0以y代x, x代y. (4) 對稱x + y = 0以-y代x, -x代y. (5) 對稱原點 以-x代x, -y代y. 例5. (1) y = logx (a) 關於x軸的對稱圖形的方程式為 . y = logx (b) 關於直線y = x的對稱圖形的方程式為 . y = 3 類題. y = 2的圖形與y = 的圖形對稱於x = y. logx y = 3的圖形與y = 的圖形對稱於y軸. 平行移動 沿著x軸方向移動h單位以x-h代x. 沿著y軸方向移動k單位以y-k代y. 例6. 試問下列各函數的圖形與y = logx的圖形的關係： (1) y = 2 (2) y = log8x (3) y = logx (4) y = log(x+1) 類題. 將 y = logx沿著x軸方向移動-4單位長後的圖形之方程式為 . y = log( x+4 ). 將 y = logx沿著y軸方向移動3單位長後的圖形之方程式為 . y-3 = logx. 對數之比較大小 例7. 比較下列各對數之大小： a = log, b = log2, c = log (2) a = log, b = log2, c = log. abc, abc (3) a = log0.3, b = log3, c = log30. bca 反函數 (1) 定義： 給了函數f ( x )與g ( x ), 設x, y分別是函數f ( x ), g ( x )定義域內的任意元素. 如果 g ( f ( x ) ) = x 且f ( g ( y ) ) = y 則稱 f ( x )與 g ( x )互為反函數, f ( x )之反函數記做 f –1 ( x ). f ( x )的定義域就是f –1 ( x )的值域, f ( x )的值域就是f –1 ( x )的定義域. 如果y = f ( x )與y = g ( x )互為反函數時, 它們的圖形必對稱於直線L：y = x. (iii)求反函數之法則：