29-1讲 常点邻域上的级数解.ppt

§9.2 常点邻域上的级数解 * 一、解与系数的关系 对于二阶线性常微分方程： 通常有两个线性无关解y1(x)和y2(x)，将其代入方程得： 该式称为解与系数的关系。 这样，只要知道方程的一个解，如y1(x)，由上面的关系，就可 以求出另一解y2(x)。引入朗斯基行列式： 所以解与系数的关系可写成： 由(1)式分离变量得： 两边积分得： 其中D0是x=x0时的D值。 若两个解线性相关，则(3)式为0，若无关，对(3)式积分得： 将(1)式代入常微分方程可得系数： 这样便得到方程的另一个线性无关解。 以上的解与系数的关系可以推广到复平面。若系数p(x)、q(x)皆 在复平面的x0点解析，则称x0点为方程的常点；若在x0点处有一个 系数不解析，则称x0点为方程的奇点。 二、常点邻域的级数解法 1、定理：若系数p(x)、q(x)在复平面的x0点及其邻域|x-x0|R内 解析，则二阶齐次线性常微分方程在该邻域内有唯一的解析解， 且满足初条件 （证略） 2、级数解法 的解在常点x0处解析，故可在常点邻 域内展为泰勒级数： 同理系数： 即： 把展开级数代入方程(1)得： 令第一部分的n-2=n，令第二部分的n-1=n，则上式变为： 比较两边的系数得： 从而方程(2)变为： 比较同幂项的系数得： (3)式称为递推关系。 由已知的初条件c0、c1，利用递推关系，可以把其它系数求 出，最终得到解y(x)。该解中只包含两个常数c0和c1，所以可把解 分解为两部分，一部分只含c0，记为y1(x)，另一部分只含c1，记 为y2(x)，这两部分是线性无关的，故方程(1)的通解可写成： 三、应用：求解勒让德方程 1、常点x0=0处的级数解 显然x0=0是方程的常点，故方程存在级数解： 代入勒让德方程(1)得： 上式称为系数递推关系。 由系数递推关系可知，偶数脚标项(简称偶标项)系数只与偶标 项系数有关，奇标项系数只与奇标项系数有关。若已知初值 则偶标项系数可由c0决定，奇标项系数可由c1 决定，方程解可写成两个线性无关解的和 其中： 由递推关系可以得到通项系数： 把两系数代入两无关解所得的无穷级数称为勒让德函数。 把两个勒让德函数相加即为所求的通解y(x)。 2、级数解在x=±1处的敛散性 即两个勒让德函数在|x|1的区域绝对且一致收敛。当x=±1时， 由高斯判别法(见附录四)知，勒让德函数发散。而勒让德方程要 求在|x|≤1的区间上为有限解。故需在边界x=±1处加入边界条 件，使勒让德函数变为有限项多项式，称为勒让德多项式。 预使勒让德函数变为有限项多项式，需要系数ck在某一项截 至，其后的系数均为0，这就要求l为某一非负整数，即在系数 中取l=k，则从ck之后的系数为0。 “要求在边界x=±1处有有限解”称为勒让德方程的自然边界条 件，该条件得到的本征值l必为非负整数。 上面级数解的收敛半径为： *