1-4函数的奇偶形周期性与函数性质的综合应用.ppt

重点难点 重点：1.奇偶函数的定义及其图象的对称特征． 2．函数的周期性． 难点：函数性质的综合应用． 知识归纳 一、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝ (或f(－x)＝ )成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数)． 2．关于奇偶性的结论与注意事项 (1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． (2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数． (3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为{0}，但逆命题不成立．若f(x)为偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)． (4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． (5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)． 3．判别函数奇偶性的方法 (1)定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数． 第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断． 即若有： f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0，f(x)/f(－x)＝－1)， 则f(x)为奇函数． 若有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0，f(x)/f(－x)＝1)，则f(x)为偶函数． (2)图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断． (3)复合函数奇偶性的判断 若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”． 4．函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式． 抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． (2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0产生关于x的恒等式，利用对应项系数相等或赋值法求得字母的值． 二、函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝ ，那么函数f(x)叫做周期函数．T叫做这个函数的一个周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期． (2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T是f(x)的周期，则kT(k∈N*)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期． 误区警示 判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y＝x2(x∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此，一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称． 一、方程的思想 运用方程观点看待问题，就是将问题转化为方程问题来解决，或者通过构造方程来达到解题的目的． 分析：奇偶性讨论的就是f(－x)与f(x)的关系，如果题目中涉及x与－x的函数值之间的关系，一般考虑用奇偶性解决．如果告诉了函数的奇偶性，应从f(－x)＝±f(x)入手． (3)当x0时，－x0，则 f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x) 当x0时，－x0则 f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x) ∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞) 都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数． 总结评述：如何判断函数奇偶性：第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断． 点评：分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便直观．(3)中到(※)后，验证f(－x)＋f(x)＝0更方便些. [例2]　定义在R上的函数y＝f(x)，对任意实数x1、x2都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，判断函数y＝f(x)的奇偶性，并证明． 解析：令x1＝x2＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0. 令x1＝x，x2＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x) ∴f(－x)＋f(x)＝0，∴f(x)是奇函数． 解析：(1)证明：∵函数定义域为R， ∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得， ∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0， ∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0. ∴