1b-1极限.ppt

* 1、数列的极限 2、函数的极限 3、无穷大与无穷小 4、极限运算法则 5、极限存在准则、两个重要极限 6、无穷小的比较 7、函数的连续性与间断点 8、连续函数的运算与初等函数的连续性 9、闭区间上连续函数的性质 主 要 内 容 第二章 极限与连续 基 本 要 求 1、理解数列极限的概念（对 定义不作过高要求）； 2、 熟悉收敛数列的性质—有界性、唯一性； 3、了解数列极限的存在准则—单调有界准则、夹逼准则； 4、理解函数的极限的定义（包括当 和 时，函数极限的定义及左、右极限的定义）; 5、了解函数极限的性质—唯一性、保号性、局部有界性； 6、熟练掌握极限的四则运算法则,包括数列极限与函数极限. 7、掌握两个重要极限： 8、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较； 9、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系； 10、函数极限与无穷小量的关系； 11、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类； 12、熟悉连续函数的和、差、积、商及复合函数的连续性； 13、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质。 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 1、概念的引入 第二章 极限与连续 一、数列的极限的概念 割圆术： S=? 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例如 2、数列的定义 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取点: 数列是整标函数 数列的几何意义. 子列的概念: n=19 n=32 n=42 n=50 3、数列的极限 问题: 1) 当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近于某一确定的数值? 如果是, 如何用数学语言描述? 2) “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 随着n的增加，1/n会越来越小。 我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程度 只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。 引入符号N和?来刻化无限增大和无限接近。 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注: 几何解释: 其中 数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在。 例1 证 例2 证 注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由??0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小). 例3 证 例4 证 类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。 对于数列极限 很自然地 二、函数的极限 又如：当 时， ，记作 相似地 相似地，可定义单侧情形： 自变量趋于无穷大时函数的极限 y x O -M M 即 y x o y=arctan x 观察 y = arctan x 的图像 从图像容易看出结果 x y o y=1/x 所以 y x o y x o 考虑函数 f (x) = ax , 分 a1,, 0a1两种情形下，分别求 x → +∞, x →－∞， x →∞时 f (x)的极限。 所以， 都不存在。 由题设知，分子必须是 x 的零次多项式 解 答 邻域（ neighborhood）的概念 自变量趋于有限值时函数的极限 自变量趋于有限值时函数的极限 即 * *