2.3.2 二面角的定义与求法.ppt

* * 2.3.2 平面与平面所成的角 知识回顾 向量所成的角 异面直线所成的角 线面所成的角 平面与平面所成的角 [0,π] （0,π/2] [0,π/2] 1、半平面及二面角的定义 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面。 1、半平面： 2、二面角： 棱 面 面 半平面 半平面 2、二面角的画法与记法 1、二面角的画法： （1）、平卧式 （2）、直立式 2、二面角的记法： 面1－棱－面2 （1）、以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为： （2）、以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为： A B 2、二面角的画法与记法 上述变化过程中图形在变化，形成“角度”的大小如何来确定 ？ 3、二面角的平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 == ? 等角定理：如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。） 注:（1）二面角的平面角与点的位置 无关，只与二面角的张角大小有关。 （2）二面角是用它的平面角来度 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 （3）平面角是直角的二面角叫做 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为[0,π]。 2、二面角的平面角的作法： 1、定义法：根据定义作出来。 2、作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到。 注意：二面角的平面角必须满足： （1）、角的顶点在棱上。 （2）、角的两边分别在两个面内。 （3）、角的边都要垂直于二面角的棱。 o A B o A o A B B 3、二面角的平面角的定义、范围及作法 例题讲解1 例1、如图，在正方体ABCD-A’B’C’D’中： （1）求二面角A’-AB-D的大小; （2）求二面角D’-AB-D的大小。 A B C D A’ B’ C’ D’ 答案： （1）900 （2）450 1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 基础练习 2、已知P为二面角 内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？ p α β ι A B O A B C P 60o 4、例题讲解 A . O 解： 则由线面垂直的判定得 AD⊥ . sin∠ADO= ∴ ∠ADO=60°. 即二面角 ?－ l－ ? 的大小为60 °. 在Rt△ADO中， AO AD 例2、已知二面角?－ l － ? ，A为面?内一点，A到? 的 距离为 2 ，到 l 的距离为 4。求二面角 ?－ l － ? 的大小。 ? ? l D 过 A作 AO⊥?于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD， l 就是二面角 ?－ l － ? 的平面角. 分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个 角就是所求的平面角, 最后求出这个角的大小。 A B C D 课堂练习： 1、如图，将等腰直角三角形纸片斜线BC上的高AD折成直二面角.求证: A D C G H B A C B G D H 4、例题讲解 例3、如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米,升高了多少? 练习：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30o的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离CO。 β α A C B O D 例4.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60o ∠BPM=∠BPN=45o ，求此二面角的度数。 β α A B P M N C D O 解： 在PB上取不同于P 的一点O， 在α内过O作OC⊥AB交PM于C， 在β内作OD⊥AB交PN于D， 连CD，可得 ∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45o ∴CO=a， DO= a ， PC a ， PD a 又∵∠MPN=60o ∴CD=PC a ∴∠COD=90o 因此，二面角的度数为90o a O P C 练习．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5