2.9 多元函数的极值及其应用.ppt

2.9.4 条件极值拉格朗日乘数法 * 一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结 2.9.1 极值的概念 定义2.24 例1 例２ 例３ (3) (2) (1) 2.92 极值的条件 证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点. 驻点 偏导数存在的极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意： 例4 求函数 的极值。 解 求解方程组： 得驻点 因此，驻点 因此，驻点 因此，驻点 例2.68 求函数 的极值。 解 由方程组 0 x y y=2x2 y=x2 f 0 f 0 f 0 与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外， 偏导数不存在的点也可能是极值点。 例如，显然函数 不存在。 求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值. 2.9.3 最大值和最小值 例2.70 内的最大值和最小值。 解： 由 由一元函数求最值的方法，由 得 例2.71 试将正数a 表示成三个非负数的和，问这 三个数各是多少时，它们的积最大？ 解 设其中两个数分别是x, y,则第三个数为a-x-y,于是 问题变成求函数 由 0 a a x y D 例2.72 某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长方 体水箱，长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料 最省？ 设水箱的长为xm，宽为ym，则其高应为 解： 此水箱所用材料的面积为 此函数称为目标函数。于是问题就成为求目标函数 A在区域 上的最小值问题。 由 又根据问题本身可 知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在区域 D内取得。因此可以断定A在M点取得最小值。也就是说 水箱所用材料最省。 由此可知，在体积一定的长方体 中，以立方体的表面积最小。 例2.73略 实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U(x, y) = lnx+lny ．设每张磁 盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果． 问题的实质：求 在条件 下的极值点． 条件极值：对自变量有附加条件的极值． 求解方程组 解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标. 解 则 例2.74 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 求函数 的最大值. 令 下， 则 令 即 由(2), (1)及(3), (2)得 由(2), (1)及(3), (2)得 于是， 代入条件，得 解得 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知， 所以， 最大值就在此点处取得。 故，最大值 最大值一定存在， 解 则 由 (1)，(2) 得 由 (1)，(3) 得