2014-2015学年高二数学精品课件：第1章 3 《反证法》（北师大版选修2-2）.ppt

2．(2013·浙江余姚中学高二期中)用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是(　　) A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个是偶数 [答案]　B [解析]　“至少有一个”的对立面是“一个都没有”． [答案]　D 二、填空题 4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角． ③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°. 上述步骤的正确顺序为________． [答案]　③①② [解析]　考查反证法的证题步骤． 5．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________． [答案]　x＝a或x＝b [解析]　对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”． 三、解答题 6．求证：若两条平行直线a、b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交． [证明]　不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a?平面α，得a∥平面α，与题设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a?平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交． [点评]　直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确． 课后强化作业 （点此链接） [点评]　结论中出现“不”、“不是”、“不存在”、“不等于”等词语的命题，其反面比较具体，通过反设，转化为肯定性命题，作为条件应用，进行推理．此时用反证法更方便． [点评]　本题第(2)问如果不用反证法证明也可以利用第(1)问函数单调性证明，即x－1时，f(x)0，－1x≤0时，f(x)≤f(0)＝－1，故当x0时，f(x)≠0，所以无负实数根． “至少”“至多”型命题 [点评]　该命题中有“至少……”，直接方法很难证明，故可采用反证法． 此题解法揭示：当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是” 探索延拓创新 反证法在几何中的应用 [分析]　本题要证明的是AB、CD能不能互相平分，能与不能二者必居其一．由于不易证明“AB、CD不能互相平分”，不妨假设“AB、CD能互相平分”，以此为出发点，得出与条件“AB，CD不全为直径”矛盾的结论． [证明]　假设AB、CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形， 所以∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD. 因为四边形ACBD为圆内接四边形， 所以∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＝∠CBD＝180°. 因此∠ACB＝90°，∠CAD＝90°， 所以对角线AB，CD均为直径，这与已知中“AB，CD不全为直径”相矛盾． 因此AB，CD不能互相平分． [点评]　用反证法证明该几何问题时，反设之后，以反设为出发点，并且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论，从而证明了原命题成立． [证明]　假设AC⊥平面SOB，连接AB.因为直线SO在平面SOB内，所以SO⊥AC.又因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB.又因为AC∩AB＝A，所以SO⊥面SAB.所以平面SAB∥底面圆O.这显然不成立，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直． 反证法在数列中的应用 [点评]　当结论为否定形式时，通过反设，转化为肯定形式，可作为条件进行推理，此时应用反证法很方便． 反证法的综合应用 [分析] [证明]　假设a0不成立，则a≤0.分两种情况证明： (1)当a0时，∵abc0，∴bc0.又∵a＋b＋c0， ∴b＋c－a0，a(b＋c)0. ∴ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc0，与已知矛盾． (2)当a＝0时，abc＝0，与abc0矛盾， 由以上分析可知，假设不成立． 因此，a0.同理可得，b0，c0. [点评]　分类讨论的关键是要全面，考虑周到，不能遗漏．比如，本题“a0”的反面是“a≤0”，即有两种情况“a0”或“a＝0”，分类讨论时，不能遗漏其中任何一种情况． [分析]　本题直接证明不易找思路，我们用间接证明的方法：反证法． [答案]　假设a不是偶数，则a