3.2 方差.ppt

3.2　方　差 1. 随机变量方差的概念 例1 设随机变量X具有数学期望E(X)= ，方差 2. 重要分布的方差 3. 小结 1. 随机变量方差的概念 2. 重要分布的方差 4. 小结 3. 方差的性质 (1) 概念的引入 上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 你认为哪台仪器好一些呢？ 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们下面要介绍的 方差 (2) 方差的定义 　　 (2) 由于标准差与X具有相同的度量单位，在实 际问题中经常使用. 说明 (1) 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 ，方差越小，X的取值集中在均值的附近；方差越大，X的取值越分散． 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 (3) 方差的计算 1) 利用定义计算 证明 2) 利用公式计算 ，记 解 称Ｙ为Ｘ的标准化变量． 例2　以X表示在一天的某一时间段中乘小汽车通过某一个十字街口的乘客（包括司机在内）的人数。已知X的分布律为 0.01 0.02 0.02 0.05 0.11 0.27 0.52 7 6 5 4 3 2 1 求数学期望E(X)，方差D(X)以及标准差 解 故 解 例3 于是 (1) (0-1)分布 已知随机变量 X 的分布律为 则有 (2) 泊松分布 所以 (3) 均匀分布 (4) 指数分布 证明 3． 方差的性质 （设D(X), D(Y) 存在） (1) 设 C 是常数, 则有 (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 证明 (3) 设 X, Y 是两个随机变量，则有 证明 推广 其中Ｃi为常数，i=1,2,…,n. 即　D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C=E(X) P(X= x) 下面我们用一例说明方差性质的应用 . 例10 求二项分布 X~B(n,p) 的方差　 即 X= X1+X2+…+Xn = np(1-p) 所以 Ｄ(X)= 解　由于X可以分解为ｎ个相互独立的(0-1)分布的和．　 因为　D(Xi)=p (1-p), i=1,2，…，n (1) 方差是一个随机变量 X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则表示 X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表性好. (2) 方差的计算公式 分 布 参数 数学期望 方差 两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 (3) 重要概率分布的期望和方差