3.6 弧微分、曲率.ppt

内容小结 1. 弧长微分 或 2. 曲率公式 3. 曲率圆 曲率半径 曲率中心 1. 椭圆 上哪些点处曲率最大 ？ 课堂练习 1. 椭圆 上哪些点处曲率最大 ？ 解 要使 最大， 必须 最小， 即 时， 曲率 达到最大 . 完 * * * * * * 此处动画取自西安通信学院数学教研室“高等数学电子教案” * * * * 运行时, 点击按扭 “摆线”可用动画显示摆线与摆线的渐屈线的生成, 演示结束自动返回. * * 第六节 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 一、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 则弧长微分公式为 或 几何意义: 若曲线由参数方程表示: 曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 切线转角为 曲率的计算公式 设 二阶可导, 该曲线在点 处切线的倾角 为 于是, 由曲率的定义, 有 从而 又 所以得到曲率的计算公式: 如果曲线方程由参数方程给定: 其中 二阶可导 曲率的计算公式 如果曲线方程由参数方程给定: 其中 二阶可导 曲率的计算公式 如果曲线方程由参数方程给定: 其中 二阶可导 则因为 所以 例1 抛物线 上哪一点的曲率最大? 解 显然, 当 时, 最大. 又 为抛物线的顶点, 在顶点处的曲率最大. 故抛物线 例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时, 率突然改变, 容易发生事故, 为了行驶平稳, 在直道和弯道之间接入一段缓冲段, 地由零过渡到 其中 为圆弧轨道的半径. 用三次抛物线 若接头处的曲 往往 使曲率连续 通常 作为缓冲段 其中 为 的长度, 的曲率为零, 且当 很小 时, 在终端 的曲率近似为 验证缓冲段 在始端 处 例2 证 根据分析, 在缓冲段 上, 题意实际要求 故 故在缓冲段始端 处的曲率为 例2 证 题意实际要求 故 例2 证 题意实际要求 故 故在终端 的曲率为 三、 曲率圆与曲率半径 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 设曲线方程为 且 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式 . 由此可得曲率中心公式 (注意 与 异号 ) 当点 M (x , y) 沿曲线 移动时, 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 屈线的参数方程(参数为x). 点击图中任意点动画开始或暂停 例3 求曲线 在点 处的曲率与曲 率半径. 解 曲率 及曲率半径 分别为 由 得 及 点 处的曲率与曲率半径分别为 例3 求曲线 在点 处的曲率与曲 率半径. 解 曲率 及曲率半径 分别为 点 处的曲率与曲率半径分别为 由 得 及 例3 求曲线 在点 处的曲率与曲 率半径. 解 曲率 及曲率半径 分别为 由 得 及 点 处的曲率与曲率半径分别为 例4 求椭圆 在 点处的曲率及曲 解 点 对应的参数 由于 故将 代入得 率半径. 例4 求椭圆 在 点处的曲率及曲 解 故将 代入得 率半径. 例4 求椭圆 在 点处的曲率及曲 解 故将 代入得 率半径. 由曲率公式, 有 例4 求椭圆 在 点处的曲率及曲 解 故将 代入得 率半径. 由曲率公式, 有 例4 求椭圆 在 点处的曲率及曲 解 故将 代入得 率半径. 由曲率公式, 有 所求曲率半径为 例5 飞机沿抛物线 解 (单位为米)俯冲飞行， 飞行员体重 70 千克. 求俯冲到原点时， 飞行员对座椅的压力. 在原点处速度为 米/秒， 飞行员对座椅的压力 (kg) 其中飞行员的体重 (kg), 离心力 由 则曲线在原点处曲率为 曲率半径为 米. 例5 飞机沿抛物线 解 (单位为米)俯冲飞行， 飞行员体重 70 千克. 求俯冲到原点时， 飞行员对座椅的压力. 在原点处速度为 米/秒， 则曲线在原点处曲率为 曲率半径为 米. 例5 飞机沿抛物线 解 (单位为米)俯冲飞行， 飞行员体重 70 千克. 求俯冲到原点时， 飞行员对座椅的压力. 在原点处速度为 米/秒， 则曲线在原点处曲率为 曲率半径为 米. 即：飞行员对座椅的压力为 641.4 千克力. ( 仍为摆线 ) 例6. 求摆线 的渐屈线