[工学]0100 第四章 数值积分与数值微分.ppt

第四章 数值积分与数值微分 实际计算中经常需要计算定积分，如对于积分： 但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象: 第四章 数值积分与数值微分 本章主要内容： 第一节 引言 第二节 Newton-Cotes求积公式 第三节 复化求积公式 第四节 龙贝格求积公式 第五节 高斯求积公式 第六节 数值微分 第一节 引言 1、问题的引出 由积分中值定理知，对于积分 ，总存在一点 使 得 成立。 但是该式中的 不容易求出，为此只能取其近似值。如： 第一节 引言 以上都是对 取的近似值，如果取 的近似值当然也可以得到一些近似公式。如： 第一节 引言 一般地，在积分区间[a,b]取节点a≤x0＜x1＜...＜xn≤b然后用f(xk) （k=0,1,…,n）的加权平均作为 f(ξ) 的近似值，则构造出以下公式： 称为机械求积公式。其中，xk (k=0,1,…,n)为求积节点，Ak为求积系数（也称伴随节点的权）。这样就避开了求原函数的问题了。 第一节 引言 2、插值型求积公式 最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式，具体步骤如下: 在积分区间[a,b]上取一组节点： 作f(x)的n次插值多项式： 第一节 引言 第一节 引言 3、代数精度 定义1. 若求积公式 第一节 引言 上面提到的梯形公式与中矩形公式对于一次多项式（即线性函数）能准确成立，而对于二次多项式不能准确成立。因此它们都具有一次代数精度。 一般地，要使机械求积公式有m次代数精度，只要它对于1，x，x2，…，xm都能准确成立而对于xm＋1不一定能准确成立即可。 举例：P68，例4－1 第二节 牛顿柯特斯求积公式 一、牛顿柯特斯求积公式 Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式。 第二节 牛顿柯特斯求积公式 f(x)的拉格朗日插值多项式及插值余项分别为： 其中： 第二节 牛顿柯特斯求积公式 第二节 牛顿柯特斯求积公式 第二节 牛顿柯特斯求积公式 第二节 牛顿柯特斯求积公式 柯特斯系数的计算： 第二节 牛顿柯特斯求积公式 柯特斯系数表 第二节 牛顿柯特斯求积公式 二、低阶Newton-Cotes公式及其余项 理论分析表明，当牛顿柯特斯公式的阶数N较大时，其稳定性差，会产生较大的误差积累，因此在Newton-Cotes公式中，n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式，称为低阶公式。 1.梯形(trapezia)公式及其余项 第二节 牛顿柯特斯求积公式 求积公式为： 第二节 牛顿柯特斯求积公式 梯形公式的余项为： 第二节 牛顿柯特斯求积公式 2.辛蒲生（Simpson）公式及其余项 第二节 牛顿柯特斯求积公式 即： 第二节 牛顿柯特斯求积公式 3.Cotes公式及其余项 第二节 牛顿柯特斯求积公式 求积公式为： 第二节 牛顿柯特斯求积公式 例1 试分别用梯形公式和辛蒲生公式计算积分 第三节 复化求积公式 当积分区间[a,b]的长度较大，而节点个数n+1固定时，直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大，而如果增加节点个数，即n+1增加时候，公式的舍入误差又很难得到控制。 为了提高公式的精度,又使算法简单易行，往往使用复合方法，即将区间[a,b]分成若干个子区间，然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式，最后将每个小区间上的积分近似值相加即可。 第三节 复化求积公式 一、复化梯形公式 将[a,b]进行n等分，节点xk=a+kh，k=0,1,…,n，h=(b-a)/n 对每个小区间[xk,xk+1]用梯形公式，然后累加。则有： 第三节 复化求积公式 复化梯形公式的余项： 若f″(x)在［a,b］上连续,由连续函数的介值定理,存在某一η∈(a,b)使得 第三节 复化求积公式 第三节 复化求积公式 二、复化辛蒲生公式 类似复合梯形公式的做法,把区间［a,b］分成n个相等的子区间： 则在每个子区间间上应用辛蒲生公式，则有： 第三节 复化求积公式 第三节 复化求积公式 第三节 复化求积公式 三、复化柯特斯公式 类似复合梯形公式的做法,把区间［a,b］分成n个相等的子区间 并将每个子区间四等分，内分点依次记为： 则复化柯特四公式为： 第三节 复化求积公式 复化柯特斯公式的误差： 第三节 复化求积公式 例1: 解：为简单起见,依次使用9节点复合梯形公式、5节点复合Simpson公式和3节点复