[工学]14-5 信号分析基础频域分析m.ppt

时移单位脉冲函数δ(t-t0)的傅里叶变换对： 常数1的傅里叶变换对： 图1.4.28 δ(t-t0)及其傅里叶变换 图1.4.29 常数1及其傅立叶变换 (1.4.80) (1.4.81) (1.4.82) * 单位脉冲函数δ(t)与任一函数x(t)的卷积 证明： 推广可得 (1.4.83) (1.4.84) 图1.4.21 x(t-t1)与δ(t-t0)的卷积 * 欧拉公式： 余弦函数的频谱： 正弦函数的频谱： 图1.4.22 正、余弦函数及其频谱 (1.4.89) (1.4.88) (1.4.87) * 周期函数x(t) 的傅里叶级数形式： 式中 x(t)的傅立叶变换为： 一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于的各谐波频率上的单位脉冲函数组成。 (1.4.90) * 例12 单位脉冲序列 求它的傅里叶变换。 解：将x(t)表达为傅里叶级数的形式 于是有 对式（1.4.92）两边作傅里叶变换得 根据式（1.4.90）可得 亦即 (1.4.91) (1.4.92) (1.4.93) * 一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为（在频域中的）一个周期脉冲序列。单个脉冲的强度为ω0=2π/T，且各脉冲分别位于各谐波频率nω0=n2π/T上，n=0, ±1, ±2, …。 图1.4.23 周期脉冲序列函数及其频谱 * （一）傅里叶变换与连续频谱 （二）能量谱 （三）傅里叶变换的性质 （四）功率信号的傅里叶变换 * 设x（t）为(-T/2,T/2)区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式： 式中 将式（1.4.39）代入式（1.4.38）得 当T→∞时，区间(-T/2,T/2)变成(-∞, ∞)，另外，频率间隔Δω=ω0=2π/T变为无穷小量，离散频率nω0变成连续频率ω 。 (1.4.38) (1.4.39) (1.4.40) * 由式（1.4.40）得到 将式（1.4.41）中括号中的积分记为： 它是变量ω的函数。则（1.4.41）式可写为： 将X(ω)称为x(t)的傅里叶变换(Fourier transform,FT)，而将x(t)称为X(ω)的逆傅里叶变换，记为： (1.4.41) (1.4.42) (1.4.43) (1.4.44) * 非周期函数x（t）存在有傅里叶变换的充分条件是 x（t）在区间(-∞, ∞)上绝对可积，即 但上述条件并非必要条件。因为当引入广义函数概念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由于ω=2πf，式（1.4.42）和（1.4.43）分别变为 (1.4.45) (1.4.46) * 小结： 从式（1.4.46）可知，一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。式中X(f)df的是谐波ej2πf的系数，决定着信号的振幅和相位。 X(f)或X(ω)为x(t)的连续频谱。 由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为 将上式中的 (当变量为ω时为 ）称非周期信号x(t)的幅值谱， φ(f)（或φ(ω)）称x(t)的相位谱。 (1.4.48) * 例4 求图示单边指数函数的频谱。 解：由式（1.4.45）有 于是 图1.4.11 单边指数函数 e-atξ(t) (a0) * 图1.4.12 单边指数函数e-atξ(t) (a0)的频谱 * 例5 图1.4.13所示为一矩形脉冲（又称窗函数或门函数），用符号gT(t)表示： 求该函数的频谱。 解： 图1.4.13 矩形脉冲函数 (1.4.48) * 其幅频谱和相频谱分别为 ： 可以看到，窗函数gT(t)的频谱GT(ω)是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上改变一个π弧度。 (1.4.49) (1.4.50) (1.4.51) 图1.4.14 矩形脉冲函数的频谱GT(ω) 矩形脉冲函数与sinc函数之间是一对傅里叶变换对，若用rect（t）表示矩形脉冲函数则有： * 一个非周期函数x（t）的能量定义为 将式（1.4.43）代入上式可得 对于实信号x(t)，有 ,式(1.4.53)变为 (1.4.52) (1.4.53) * 由此最后得 式（1.4.53）亦称巴塞伐尔方程或能量等式。它表示，一个非周期信号x(t)在时域中的能量可由它在频域中连续频谱的能量来表示。 式（1.4.53）亦可写成 其中，