[工学]7正交多项式和最佳一致逼近.ppt

***四、契比雪夫多项式的应用 的正交多项式序列。 ① {Hn(x)}是在区间(-?, +?)上带权函数 ② 相邻的三项具有递推关系式： 三、最佳一致逼近 这里Pn(x)实际上是一个插值节点待求的Lagrange插值多项式。 构造 一般取 H x f x P H x P n n ) ( ) ( ) ( ? ? ? x x x span H n } , , , 1 { 2 = K 定理2：(维尔斯特拉斯定理） 若f (x)是区间[a, b]上的连续函数，则对于任意? 0， 总存在多项式p (x)，使对一切a ≤x ≤b有 定义 设函数f (x)是区间[a, b]上的连续函数，对于任意给定的? 0，如果存在多项式p (x)，使不等式 成立，则称多项式p (x)在区间[a, b]上函数f (x)的一致逼近(或均匀逼近)多项式。 推论1、若f (x)是区间[a, b]上的连续函数，则f (x) 在H的最佳一致逼近多项式就是f (x)在区间[a, b]上的某个n次插值多项式 pn (x)， 推论2、若f (x)是区间[a, b]上有n +1阶导数，且f(n +1)(x) 在区间[a, b]上恒正或恒负，那么区间[a, b]的端点a, b属于f (x) －pn (x) 的交错点组。 a b x1 f(x) P1(x)=a0+a1x 例.求函数f(x)=ex在区间[0，1]上的线性最佳一致逼近多项式。 求函数f(x)=x2在[0, 1]上的线性最佳一致逼近多项式。 因此，s4(x)=2.532132+1.130318x+0.271495T2(x)+0.044337T3(x)+0.005474T4(x) * 计算方法与数值计算 University of Shanghai for Science and Technology College of Science 上 海 理 工 大 学 理 学 院 第六章 函数逼近 一、基本概念 用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最 基本问题和基本方法。这种近似代替又称为逼近，函数f (x)称为被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差 称为逼近的误差或余项。 如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是 函数逼近要解决的问题。 函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A（如连续函数类）中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B（如多项式、三角函数类等）中寻找一个函数p (x)，使p (x)与f (x)之差在某种度量意义下最小。 最常用的度量标准为：一致逼近、 平方逼近. 函数系的线性关系 定义 　若函数 ， 在区间[a, b]上连续， 如果关系式 当且仅当 时才成立，则称 函数在[a, b]上是线性无关的，否则称线性相关。 设 是[a, b]上线性无关的连续函数 a0, a1, …, an 是任意实数，则 并称 是生成集合的一个基底。 的全体是C[a, b]的一个子集，记为 定理 连续函数在[a, b]上线性无关的充分必要条件是它们 的克莱姆(Gram)行列式Gn ? 0，其中 广义多项式 设函数系{ ，…}线性无关， 则其有限项的线性组合 称为广义多项式。 (1) 一致逼近 以函数f (x)和p (x)的最大误差 作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近 对于任意给定的一个小正数? 0，如果存在函数p (x)，使不等式 成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近于函数f (x)。 (2) 平方逼近： 采用 作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。 二、正交多项式 引例 考虑函数系 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[-? ,? ]上的积分(内积)都等于0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[-? ,? ]上是正交 的，并且称这个函数系为一个正交函数系。 若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数， 使之成为： 那么这个函数系在